Pre-conocimiento: Encuentra la suma de expresiones que contienen infinito por integral definida
Ejercicio 1
计算lim norte → + ∞ 1 1 3 + 2 1 3 + ⋯ + norte 1 3 norte 4 3 \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1^{\frac 13}+2^{\frac 13}+\cdots+n^{\frac13}}{n^{\frac 43}}norte → + ∞límitenorte34131+231+⋯+norte31
Solución:
\qquad原式= lim norte → + ∞ 1 norte ∑ yo = 1 norte ( en ) 1 3 = ∫ 0 1 x 1 3 dx =\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i =1}^n(\dfrac in)^{\frac 13}=\int_0^1x^{\frac 13}dx=norte → + ∞límitenorte1yo = 1∑n(norteyo)31=∫01X31d x
= 3 4 x 4 3 ∣ 0 1 = 3 4 \qquad\qquad =\dfrac 34x^{\frac 43}\bigg\vert_0^1=\dfrac 34=43X34 01=43
Ejercicio 2
Definición límite norte → + ∞ ( 1 norte + 1 + 1 norte + 2 + ⋯ + 1 norte + norte ) \lim\limits_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n+1}+\ dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+n})norte → + ∞límite(norte+11+norte+21+⋯+norte+norte1)
Solución:
\qquad原式= lim norte → + ∞ 1 norte ∑ yo = 1 norte 1 1 + in =\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{ 1}{1+\frac in}=norte → + ∞límitenorte1yo = 1∑n1+norteyo1
= ∫ 1 2 ln xdx = ln 2 \qquad\qquad =\int_1^2\ln xdx=\ln 2=∫12enx re x=en2