Conocimientos previos: derivación integral de límite variable
Ejercicio 1
已知F ( x ) = ∫ x 2 x sin t 2 dt F(x)=\int_x^{2x}\sin t^2dtF ( x )=∫X2x _pecadot2 dt，求F ′ ( x ) F'(x)F′ (x)
解：
F ′ ( x ) = sin ( 4 x 2 ) ⋅ 2 − sin ( x 2 ) = 2 sin ( 4 x 2 ) − sin ( x 2 ) \qquad F'(x)=\sin (4x^2)\cdot 2-\sin(x^2)=2\sin(4x^2)-\sin(x^2)F′ (x)=pecado ( 4 x2 )⋅2−pecado ( x2 )=2pecado ( 4 x2 )−pecado ( x2 )
Ejercicio 2
Función conocida f ( x ) f(x)f ( x )连续，F ( x ) = ∫ 2 xx 2 f ( x ) dx F(x)=\int_{2x}^{x^2}f(x)dxF ( x )=∫2x _X2f ( x ) d x，求F ′ ( x ) F'(x)F′ (x)
Solución:
\qquad原式= f ( x 2 ) ⋅ 2 x − f ( 2 x ) ⋅ 2 = 2 xf ( x 2 ) − 2 f ( 2 x ) =f(x^2)\cdot 2x-f(2x)\cdot 2=2xf(x^2)-2f(2x)=f ( x2 )⋅2x _−f ( 2x ) _⋅2=2 x f ( x2 )−2 f ( 2 x )
Ejercicio 3
Conocido F ( x ) = x 2 ∫ ex ln tdt F(x)=x^2\int_e^x\ln tdtF ( x )=X2∫mixent d t，求f ′ ( e ) f'(e)F′ (mi)
解：
F ′ ( x ) = 2 x ∫ ex ln tdt + x 2 ln x \qquad F'(x)=2x\int_e^x\ln tdt+x^2\ln xF′ (x)=2x _∫mixent d t+X2enX
F ′ ( mi ) = 2 x ⋅ 0 + mi 2 ⋅ 1 = mi 2 \qquad F'(e)=2x\cdot 0+e^2\cdot 1=e^2F′ (mi)=2x _⋅0+mi2⋅1=mi2
Ejercicio 4
计算lim x → 0 x − ∫ 0 xet 2 dtx 3 \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\int_0^xe^{t^2}dt}{x^3}X → 0límiteX3X−∫0xmit2 días_
Solución:
\qquadSegún la regla de L'Hopital , la fórmula original = lim x → 0 1 − ex 2 3 x 2 = lim x → 0 − 2 xex 2 6 x = − lim x → 0 ex 2 3 = − 1 3 = \lim \limits_{x\to 0}\dfrac{1-e^{x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-2xe^{x^2} }{ 6x}=-\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x^2}}{3}=-\dfrac 13=X → 0límite3x _21−miX2=X → 0límite6x _− 2 x eX2=−X → 0límite3miX2=−31