Cálculo de integrales definidas (integración por partes)

conocimiento previo

• integral por partes
• Fórmula de Newton-Leibniz

integral definida por parte

diseñou $tu,v$ en$[un,b]$ es derivable, y${tu}^{\prime },v^{\prime }$ en$[un,b]$ es continua, entonces

$${\int }_a^{}tu\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)rex=tu\left(x\right)v\left(x\right){|}_a^{}-{\int }_a^{}{tu}^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)rex$$

también puede escribir

$${\int }_a^{}etc\_\_=ultravioleta{|}_a^{}-{\int }_a^{}vdtu$$

Prueba: De acuerdo con la derivada de la función compuesta, hay

$$tu\left(x\right)v\left(x\right){|}_a^{}={\int }_a^{}\left[tu\right(x\left)v\right(x){]}^{\prime }dx={\int }_a^{}tu(x\left)v^{\prime }\right(x)rex+{\int }_a^{}{tu}^{\prime }(x\left)v\right(x)rex$$

transponer

$${\int }_a^{}tu\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)rex=tu\left(x\right)v\left(x\right){|}_a^{}-{\int }_a^{}{tu}^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)rex$$

Ejemplo 1

Calcular ${\int }_0^{}x{mi}^{x}rex$

Solución:
\qquad原式$={\int }_0^{}xd(e^x)=x{mi}^X{|}_0^{}-{\int }_0^{}{mi}^{x}rex=x{mi}^X{|}_0^{}-{mi}^X{|}_0^{}=mi-(mi-1)=1$

Ejemplo 2

Se sabe que $f\left(1\right)=2$，${\int }_0^{}f\left(x\right)rex=1$ , calcular${\int }_0^{}x{f}^{\prime }\left(x\right)rex$

Solución:
\qquad原式$={\int }_0^{}xre\left[f\right(x)]=xf\left(x\right){|}_0^{}-{\int }_0^{}f\left(x\right)rex=f\left(1\right)-{\int }_0^{}f\left(x\right)rex=2-1=1$