Directorio de artículos

1. Origen
2. Eficacia
3. Métodos formales (Hamiltoniano)
4. Aplicación
5. Criterio de Ginzburg
- 5.1 Ejemplo: Modelo Ising
- 5.2 Ejemplo: Modelo clásico de Heisenberg
6. Dimensión crítica
7. Teoría de juegos de campo medio
- 7.1 Problema del juego gaussiano cuadrático lineal
8. Teoría dinámica del campo medio
- 8.1 Relación con la teoría del campo medio

En física y teoría de la probabilidad, la teoría del campo medio (MFT) o la teoría del campo autoconsistente (Teoría del campo autoconsistente) estudia el comportamiento de los modelos estocásticos (estocásticos) de alta dimensión mediante el estudio de un modelo más simple. El modelo se aproxima al modelo original. promediando sobre los grados de libertad (los valores en el cálculo final de la estadística son libres de variar). Dichos modelos consideran muchos componentes individuales que interactúan.

La idea principal de la teoría del campo medio es reemplazar todas las interacciones en cualquier cuerpo con la interacción promedio o efectiva (a veces llamada campo molecular). Esto reduce cualquier problema de muchos cuerpos a un problema eficiente de un solo cuerpo. La facilidad para resolver problemas de la teoría del campo medio significa que se puede obtener una idea del comportamiento del sistema a un bajo costo computacional.

Desde entonces, la teoría del campo medio se ha aplicado a una amplia gama de campos fuera de la física, incluida la inferencia estadística, los modelos gráficos, la neurociencia, la inteligencia artificial, el modelado de epidemias, la teoría de colas, el rendimiento de las redes informáticas y la teoría de juegos, así como la respuesta cuántica. equilibrio (equilibrio de respuesta cuántica). equilibrio).

1. Origen

Esta idea apareció por primera vez en Physics (Statistical Mechanics) en el trabajo de Pierre Curie y Pierre Weiss para describir las transiciones de fase. MFT se ha utilizado para la aproximación de Bragg-Williams, el modelo de celosía de Bethe, la teoría de Landau, la aproximación de Pierre-Weiss, la teoría de solución de Flory-Huggins y la teoría de Scheutjens-Fleer.

Los sistemas con muchos (a veces infinitos) grados de libertad suelen ser difíciles de resolver exactamente o de calcular en forma analítica cerrada, excepto en algunos casos simples (por ejemplo, ciertas teorías de campos aleatorios gaussianos, modelos 1D Ising). A menudo surgen problemas combinatorios, lo que dificulta cosas como calcular la función de partición de un sistema. MFT es un método de aproximación que generalmente hace que el original sea solucionable y abierto al cálculo y, en algunos casos, MFT puede proporcionar aproximaciones muy precisas.

En la teoría de campos, el hamiltoniano se puede desarrollar alrededor del rango de fluctuación del promedio de campo. En este caso, el MFT puede verse como una expansión de "orden cero" del hamiltoniano en fluctuaciones. Físicamente, esto significa que no hay fluctuaciones en el sistema MFT, pero encaja con la idea de reemplazar todas las interacciones con un "campo medio".

Muchas veces, la MFT proporciona un punto de partida conveniente para estudiar fluctuaciones de orden superior. Por ejemplo, al calcular funciones de partición, el estudio de combinaciones de términos de interacción en el hamiltoniano a veces puede producir, en el mejor de los casos, resultados de perturbación o diagramas de Feynman de la aproximación de campo medio modificada.

2. Eficacia

En general, la dimensionalidad juega un papel activo en la determinación de si los métodos de campo medio son adecuados para un problema en particular. A veces hay una dimensión crítica ( dimensión crítica ), por encima de la cual MFT es válida, y por debajo de esta dimensión, no es válida.

Heurísticamente, en MFT, muchas interacciones son reemplazadas por una eficiente. Entonces, si el campo o las partículas exhiben muchas interacciones aleatorias en el sistema original, tienden a cancelarse entre sí, por lo que la interacción media efectiva y la MFT serán más precisas. Esto es cierto en dimensiones altas cuando el hamiltoniano incluye fuerzas de largo alcance o cuando aumenta el número de partículas (por ejemplo, polímeros). El criterio de Ginzburg es una expresión formal de cómo las fluctuaciones hacen que la MFT sea una mala aproximación, generalmente dependiendo del número de dimensiones espaciales en el sistema de interés.

3. Métodos formales (Hamiltoniano)

La base formal de la teoría del campo medio es la desigualdad de Bogoliubov . Esta desigualdad establece que la energía libre de un sistema con un hamiltoniano

$\mathcal {H}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}$

tiene el siguiente límite superior:

$F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _ {0}-TS_{0}$

donde $S_{0}$ es la entropía, $F$ y $F_{0}$ es la energía libre de Helmholtz. El valor promedio se toma del hamiltoniano $\mathcal {H}_{0}$ Un conjunto equilibrado de sistemas de referencia. En el caso especial en el que el hamiltoniano de referencia es un sistema que no interactúa, se puede escribir como

${\mathcal {H}}_{0}=\sum_{i=1}^{N}h_{i}(\xi_{i })$

Entre ellos, $\xi _{i}$ son los grados de libertad de los diversos componentes de nuestro sistema estadístico (átomos, espines, etc.), y se puede considerar que mejoran el límite superior al minimizar el lado derecho de la desigualdad. El sistema de referencia de minimización es la "mejor" aproximación al sistema real utilizando grados de libertad no correlacionados, llamada aproximación de campo medio.

Para el caso más común en el que el hamiltoniano objetivo contiene solo interacciones por pares, es decir

${\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}} V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j} )$

donde ${\mathcal {P}}$ es el conjunto de pares de interacción y el proceso de minimización se puede realizar formalmente. Tr ⁡ si $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ se define como el $f$ sobre los grados de libertad de los componentes individuales (sumas para variables discretas, integrales para variables continuas). La energía libre aproximada viene dada por

${\begin{alineado}F_{ 0}=&\nombre del operador {Tr} _{1,2,\ldots, N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N })P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N})\\ &+kT\,\nombre del operador {Tr} _ {1,2,\ldots,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N})\log P_{0 }^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N}),\end{alineado}}$

donde $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi_{ NORTE})$ es la probabilidad de encontrar un sistema de referencia cuyo estado esté determinado por las variables $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi_{ NORTE})$ dado. Esta probabilidad viene dada por el factor de Boltzmann normalizado:

${\begin{alineado}P_{0}^{(N)}(\xi _{1} ,\xi _{2},\ldots,\xi _{N})&={\frac { 1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H }}_{0}(\xi_{1},\xi_{2},\ldots , \xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac { 1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod_{i= 1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{alineado}}$

Entre ellos $Z_{0}$ es la función de partición. por lo tanto

${\begin{alineado}F_{0}=&\sum_{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr}_{i,j}V_{i,j }(\xi_{i},\xi_{j})P_{0}^{(i)}(\xi_{i})P_{0}^{(j)}(\xi_{j })\\ &+kT\sum_{i=1}^{N}\nombre del operador {Tr}_{i}P_{0}^{(i)}(\xi_{i})\log P_{ 0}^{ (i)}(\xi _{i}).\end{alineado}}$

$P_{0}^{(i)}$ usando multiplicadores de Lagrange $PAG_{0}^{(yo}$ para garantizar una adecuada normalización. El resultado final es un conjunto de ecuaciones autoconsistentes:

$P_{0}^{(i)}(\xi _ {i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}( \xi _{i})},\quad i=1,2, \ldots ,N,$

donde el campo medio viene dado por

$h_{i}^ {\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}} \operatorname {Tr} _{j }V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})$

4. Aplicación

La teoría del campo medio se puede aplicar a muchos sistemas físicos para estudiar fenómenos como las transiciones de fase.

4.1 Modelo de navegación

4.1.1 Derivación de formas

La desigualdad de Bogoliubov que se muestra arriba se puede usar para calcular la dinámica del modelo de campo medio bidimensional de Isinger. La función de magnetización se puede calcular a partir de la energía libre aproximada resultante. El primer paso es elegir una aproximación más manejable al hamiltoniano verdadero. Usando hamiltonianos no interactivos o de campo efectivo,

$-m\sum _{i}s_{i}$

La energía libre variacional es

$F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_ {i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}$

Simplificando esta cantidad y calculando la función de magnetización que minimiza la energía libre variacional, se obtiene la mejor aproximación a la magnetización real, a través de la desigualdad de Bogoliubov. El minimizador es

$m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h$

Este es el promedio conjunto de los giros. Esto simplifica a

$m={\text{tanh}}(zJ\beta m)+h$

Igualar el campo efectivo sentido por todos los giros al valor de giro promedio vincula el enfoque variacional con la supresión de fluctuaciones. La interpretación física de la función de magnetización es el campo promedio de giros individuales.

4.1.2 Aproximación de espín sin interacción

considerar Modelos de ising en $redes d- dimensionales.$ El hamiltoniano está dado por

$H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i} si}$

任何 $\sum _{\langle i,j\rangle }$ Indica el par vecino más cercano $\langle i,j \rangle$ , $s_{i},s_{j}=\pm 1$ es el giro de Ising adyacente.

Introduzcamos el valor medio de la variable de espín $m_{i}\equiv \lang s_{i}\rangle$ para transformar la variable de espín. Podemos reescribir el hamiltoniano como:

$H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i} +\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _ {i}s_{i}$

我们定义 $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$ ; Esta es la fluctuación del giro.

Si expandimos el lado derecho, obtenemos un término que depende completamente del promedio de espín e independiente de las configuraciones de espín. Este es un término insignificante que no afecta las propiedades estadísticas del sistema. El siguiente término involucra el producto del promedio de espín y el valor de fluctuación. Finalmente, el último término implica el producto de dos valores de fluctuación.

La aproximación de campo medio implica ignorar este término de fluctuación de segundo orden:

$H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _ {\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j }+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_ {i}$

Estas fluctuaciones se mejoran en dimensiones más bajas, lo que hace que la MFT sea una mejor aproximación en dimensiones más altas.

Asimismo, la suma se puede volver a expandir. Además, esperamos que el valor medio por espín sea independiente del sitio, ya que la cadena de Ising es invariante en la traducción. Esto resulta en:

$H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i, j\rangle }{\grande (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\grande)}-h\sum_{i}s_{i}$

La suma de giros adyacentes se puede reescribir como $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2 }} \sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ , donde $nn (i)$ muestra “vecino más cercano de $i$ $El prefactor 1/2$ evita la doble contabilidad, ya que cada conexión participa en dos giros. Después de la simplificación se puede obtener la expresión final:

$H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{ef. }} }\sum_{i}s_{i}$

en ese $z$ es el número de coordinación (número de coordinación, equivalente al número de vecinos). Hasta ahora, el hamiltoniano de Ising se ha desacoplado para tener un campo medio efectivo $zh^{\text{eff.}}=h+mJz$ , que es el jardín $h$ y la suma de los campos medios debidos a los espines vecinos. Vale la pena señalar que este campo medio depende directamente del número de vecinos más cercanos y, por lo tanto, también de la dimensionalidad del sistema (por ejemplo, $re$ , $z = 2d)$ 。

Sustituyendo este hamiltoniano en la función de partición y resolviendo el problema efectivamente unidimensional, obtenemos:

$Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2} }}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{ B}}T}}\right)\right]^{N}$

donde $N$ es el número de puntos de la cuadrícula. Esta es una expresión cerrada y exacta para la función de partición del sistema. Podemos obtener la energía libre del sistema y calcular el exponente crítico. En particular, podemos obtener la magnetización $m$ como $h^{\text{ef.}}$ función de $^{ef .}$

Por lo tanto, estamos en $m$ y $h^{\text{ef.}}$ Hay dos ecuaciones entre $^{eff.}$ $m$ en función de la temperatura. Esto lleva a las siguientes observaciones:

Para mayor que cierto valor $T_{\text{c}}$ temperatura, la única solución es $metro = 0$ _ El sistema es paramagnético.
Para $T<T_{\text{c}}$ , con dos soluciones distintas de cero: $m=\pm m_{0}$ . El sistema es ferromagnético.

$T_{\text{c}}$ viene dada por la relación: $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{ k_{B}}}$ 。

Esto sugiere que MFT puede explicar la transición de fase ferromagnética.

4.2 Aplicado a otros sistemas

De manera similar, MFT se puede aplicar a otros tipos de hamiltonianos, como en los siguientes casos:

Estudia las transiciones metal-superconductor. En este caso, la cantidad analógica para la magnetización es la brecha superconductora $\Delta$ _
El campo molecular de cristal líquido que aparece cuando el laplaciano del campo director es distinto de cero.
En la predicción de la estructura de la proteína, dada una columna vertebral de proteína fija, determine la mejor manera de apilar las cadenas laterales de aminoácidos de manera óptima.
Determinar las propiedades elásticas de los materiales compuestos.

La minimización variacional en la teoría del campo medio también se puede utilizar para la inferencia estadística.

4.3 Generalización a campos medios dependientes del tiempo

En la teoría del campo medio, el campo medio que ocurre en un problema de un solo punto es un escalar o vector independiente del tiempo. Sin embargo, este no es siempre el caso: en una variante de la teoría del campo medio conocida como teoría dinámica del campo medio (DMFT), el campo medio se convierte en una cantidad dependiente del tiempo. Por ejemplo, DMFT se puede aplicar al modelo de Hubbard para estudiar la transición metal-Mott-aislante.

5. Criterio de Ginzburg

La teoría del campo medio da resultados razonables siempre que se puedan ignorar las fluctuaciones en el sistema bajo consideración. El criterio de Ginzburg cuantifica cuándo es válida la teoría del campo medio. También da el concepto de dimensión crítica superior , es decir, la dimensión del sistema para el cual la teoría del campo medio da resultados correctos, y el exponente crítico predicho por la teoría del campo medio coincide exactamente con el exponente crítico obtenido por el método numérico.

5.1 Ejemplo: Modelo Ising

Si $\phi$ es el parámetro de orden del sistema, entonces la teoría del campo medio requiere que la fluctuación del parámetro de orden sea mucho menor que el valor real del parámetro de orden cerca del punto crítico.

Cuantitativamente, esto significa:

$\displaystyle {\mathcal {\langle }}(\delta \phi )^{2}\rangle \quad {\ll }\quad \langle \phi \ rango ^{2}$

Usando esto en la misma teoría de Landau que la teoría del campo medio del modelo de Ising, la dimensión crítica superior tiene un valor de 4. Si la dimensionalidad del espacio es mayor que 4, los resultados del campo medio son buenos y autoconsistentes. Pero para dimensiones menores a 4, la predicción es menos precisa. Por ejemplo, en una dimensión, la aproximación de campo medio predice la transición de fase del modelo de Ising a temperatura finita, mientras que la solución analítica exacta en una dimensión no lo hace (excepto para T = 0 T= $T = 0$ y $T\rightarrow\infty$ )。

5.2 Ejemplo: Modelo clásico de Heisenberg

En el modelo clásico de magnetismo de Heisenberg , el parámetro de orden tiene una mayor simetría y fluctuaciones direccionales pronunciadas que son más importantes que las fluctuaciones de tamaño. Van más allá del intervalo de temperatura de Ginzburg, donde las fluctuaciones modifican la descripción del campo medio, reemplazando así este criterio por otro más relevante.

6. Dimensión crítica

En el análisis de grupo de renormalización de transiciones de fase en física, la dimensión crítica ( dimensión crítica ) es la dimensión espacial donde cambian las propiedades de las transiciones de fase. Por debajo de la dimensión crítica inferior no hay transición de fase. Por encima de la dimensión crítica superior, el exponente crítico de la teoría se convierte en el mismo que en la teoría del campo medio. Un elegante criterio de dimensión crítica está disponible en la teoría del campo medio, gracias a V. Ginzburg.

Dado que el grupo de renormalización establece la relación entre las transiciones de fase y la teoría cuántica de campos, esto tiene implicaciones para esta última, así como para nuestra comprensión más amplia de la renormalización. Por encima de la dimensión crítica superior, la teoría cuántica de campos perteneciente al modelo de transición de fase es la teoría de campos libres. Por debajo de la dimensión crítica inferior, no hay teoría de campo correspondiente al modelo.

En la teoría de cuerdas, el significado es más restringido: la dimensión crítica es la dimensión con la que la teoría de cuerdas está de acuerdo asumiendo un subfondo en expansión constante sin permutaciones adicionales de confusión de los efectos de la radiación de fondo. El número exacto se puede determinar mediante la eliminación de anomalías conformes requeridas en la hoja mundial; 26 para la teoría de cuerdas de bosones y 10 para la teoría de supercuerdas.

7. Teoría de juegos de campo medio

La teoría de juegos de campo medio es el estudio de las decisiones estratégicas de pequeños agentes que interactúan (agentes) en poblaciones muy grandes. El uso del término "campo medio" se inspiró en la teoría física del campo medio, que considera el comportamiento de un sistema de un gran número de partículas, donde las partículas individuales tienen una influencia insignificante en el sistema.

Dichos problemas han sido considerados en la literatura económica por Boyan Jovanovic y Robert W. Rosenthal, en la literatura de ingeniería por Minyi Huang, Roland Malhame y Peter E. Caines, e independientemente y casi al mismo tiempo por el matemático Jean-Michel Lasry y Pierre-Louis Lions.

En tiempo continuo, los juegos de campo medio generalmente consisten en la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman que describe el problema de control óptimo individual y la ecuación de Fokker-Planck que describe la dinámica de la distribución agregada del agente. Bajo suposiciones bastante generales, se puede demostrar que una clase de juegos de campo medio es $El límite del equilibrio de Nash de N$ jugadores, como $N\to \infty$ 。

Un concepto relacionado con los juegos de campo medio es el "control de tipo de campo medio". En este caso, el planificador social controla la distribución estatal y elige la estrategia de control. La solución al problema de control de campo medio generalmente se puede expresar como la ecuación adjunta dual de Hamilton-Jacobi-Bellman junto con la ecuación de Kolmogorov. La teoría del juego del campo medio es una extensión multiagente del control del campo medio de un solo agente.

7.1 Problema del juego gaussiano cuadrático lineal

De Caines (2009), un modelo relativamente simple para juegos grandes es el gaussiano lineal-cuadrático . La dinámica de un solo agente se modela como ecuaciones diferenciales estocásticas:

$dX_{i}=(a_{i}X_{i}+b_{i}u_{ i})\,dt+\sigma _{i}\,dW_{i},\quad i=1,\dots ,N,$

Entre ellos, $X_{i}$ 是 $i\text{-th}$ sujeto, $u_{i}$ derecho $i$ sujetos, $W_{i}$ es todo $i=1,\dots ,N$ Proceso de Wiener independiente de $N.$ La pérdida del sujeto individual es:

$J_{i}(u_{i},\nu )=\mathbb {E} \left\{\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}\left[(X_ {i} -\nu )^{2}+ru_{i}^{2}\right]\,dt\right\},\quad \nu =\Phi \left({\frac {1}{N} }\sum _{k\neq i}^{N}X_{k}+\eta \right)$

El acoplamiento entre agentes se produce en la función de pérdida.

8. Teoría dinámica del campo medio

La teoría dinámica del campo medio ( DMFT) es un método para determinar la estructura electrónica de materiales fuertemente correlacionados. En tales materiales, se rompe la aproximación de electrones independientes utilizada en la teoría funcional de la densidad y los cálculos de estructura de banda en general. La teoría del campo medio dinámico es un tratamiento no perturbador de las interacciones locales entre electrones, cerrando la brecha entre el límite de gas de electrones casi libres y el límite atómico de la física de la materia condensada.

DMFT implica mapear un problema de red de muchos cuerpos a un problema local de muchos cuerpos, llamado modelo de impurezas. Aunque los problemas de la red son a menudo intratables, los modelos de impurezas a menudo se pueden abordar a través de varios esquemas. Las asignaciones en sí mismas no constituyen aproximaciones. La única aproximación realizada en el esquema general de DMFT es la suposición de que la energía propia de la red es una cantidad (local) independiente del momento. Esta aproximación se vuelve exacta en el límite de la red con coordenadas infinitas.

Uno de los mayores éxitos de DMFT ha sido la descripción de las transiciones de fase entre los metales y los aisladores de Mott cuando aumenta la fuerza de correlación de electrones . Combinado con la aproximación de la densidad local de la teoría funcional de la densidad, se ha aplicado con éxito a materiales reales.

8.1 Relación con la teoría del campo medio

El tratamiento DMFT de los modelos cuánticos de celosía es similar al tratamiento de la teoría del campo medio (MFT) de los modelos clásicos como el modelo de Ising. En el modelo de Ising, el problema de la red se asigna a un problema efectivo de sitio único cuya magnetización se reproduce mediante un "campo medio" efectivo de la magnetización de la red. Esta condición se denomina condición de autoconsistencia (autoconsistencia). Estipula que un observable de punto unidad reproducirá un observable "local" de punto de cuadrícula a través del campo efectivo. Aunque $El$ hamiltoniano de Ising de N puntos es difícil de resolver analíticamente (hasta ahora, las soluciones analíticas solo están disponibles para casos 1D y 2D), pero el problema de un solo punto es fácil de resolver.

Del mismo modo, DMFT asigna un problema de red (como el modelo de Hubbard ) a un problema de punto unitario. En DMFT, los observables locales son funciones de Green locales. Por lo tanto, la condición autoconsistente de DMFT es que la función de impureza de Green reproduce la función de Green local de celosía a través del campo medio efectivo, que en DMFT es la función de hibridación Δ ( τ ) \Delta (\tau Modelo de impurezas para $Δ$ $($ $τ$ $) .$ DMFT recibe su nombre del campo medio $\Delta (\tau )$ depende del tiempo o es dinámico. Esto también señala la principal diferencia entre Ising MFT y DMFT: Ising MFT mapea el problema de N-spin en un problema de un solo punto y un solo giro. DMFT asigna el problema de la red al problema del punto unitario, pero este último sigue siendo esencialmente un problema de N-cuerpo que captura las fluctuaciones temporales debidas a las correlaciones electrón-electrón.