[Serializado] Notas sobre álgebra lineal-Capítulo 2 Matriz 2

Soy Zhuo Zhuo, un estudiante de primer año que es un principiante en Java.
Anhelando la locura de Yu Xiuhua y Dylan Thomas, a menudo permitiéndose enviar emociones en la poesía; después de perseguir las palabras de Wilde y Wang Xiaobo, y luego caer en Maugham y Stephen King, no puede liberarse; la ola de amor por la literatura, pero soñando despierto Ser sobrio en realidad, admirando la calma y anhelando desesperadamente el poder para correr.
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Libro de texto | Álgebra lineal Tercera edición (Prensa de la Universidad Jiaotong de Shanghai)
Contenido | Capítulo dos Matriz | Sección tres / Sección cuatro

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Capítulo 2 Matriz

2.3 | Matriz invertible

Matriz inversa

Definir el concepto:

A es una matriz cuadrada de n orden , si hay una matriz cuadrada de n orden B, st.AB = BA = En, llamada matriz A es invertible, la matriz A es una matriz B llamada matriz inversa .

Medios :

B=A^-1;

Nota :

• No todas las matrices cuadradas tienen una matriz inversa.

• La unicidad de la matriz inversa .

  • teorema:

    • $$Si\; elmomento\; de\; lamatrizApuede\; sera\; la\; inversa,entoncessuinversomomentomatrizesla\; únicaunode$$

• La existencia de la matriz inversa, la condición necesaria y suficiente para que la matriz sea invertible .

Definición :

AsumirA=（aij）n（n>=2）

El resto algebraico de aij en | A | es Aij, entonces se llama matriz de n-orden

¡Figura! [Similar al determinante transpuesto]

Es la matriz adjunta de A, denotada como A^*.

例：

求矩阵A的伴随矩阵A^*；
方法：求出每一个代数余子式，列出A^*；
    若|A|=60【行列式的值为60】，AA^*（矩阵乘法）=数量矩阵，对角线元素恰为|A|，即
    图！
    所以AA^*=A^*A=|A|E【im】；（伴随矩阵基本性质）

Teorema :

La matriz A de orden n es invertible <=> | A |! = 0 (condiciones suficientes y necesarias)

Y A^(-1)=1/|A|·A^*.

---------- ¡El método de matriz adjunta para encontrar la matriz inversa! ------------

probar:

Necesidad -

¡Figura!

Suficiencia -

¡Figura!

inferencia:

Si hay una matriz B de orden n, st BA = E (o AB = E)

Entonces la matriz A es invertible y A^(-1)=B.

【注：一阶矩阵A=（a）可逆<——>|A|=a！=0，A^(-1)=1/a】

Prueba :

若AB=E，则|AB|【=|A||B|】=|E|=1，所以|A|！=0，所以矩阵A可逆。

Definición :

La matriz cuyo determinante no es cero se llama matriz no singular ; | A | = 0, matriz singular.

Método de inversión—— A^*;

例: (Marcha atrás)

La matriz A de orden n satisface :, A^2-3A-5E=0demuestre: A + 2E es invertible, y use la matriz A para representar la matriz inversa de A + 2E.

solución-

（A+2E）(A-5E)=-5E，两边同除以（-5），得到（-1/5)（A+2E）(A-5E)=E,可求得逆矩阵。

例：

Suponga que A es una matriz real distinta de cero de orden n (n> = 2), A ^{* = A} T, demuestre que A es invertible.

由A^*=A^T得，Aij=aij，i，j=1，2，3.....n；
因为A不是0矩阵，所以存在aij=！=0，st

¡Figura!

Otra narrativa de la ley de Cramer

AX = B, A es una matriz de columnas de coeficientes, X es una matriz de números desconocidos y B es una matriz de columnas constantes;

若A=（aij）n可逆，则X=A^(-1)B=...

¡Figura!

Promoción de la ley de Cramer

Suponga que A es una matriz invertible conocida de orden n, B es una matriz conocida de n × k, AX = B, entonces hay una solución única X = A ^ (- 1) B;

Si C es una matriz invertible conocida de orden ky AXC = B, hay una solución única X = A ^{(-1) BC} (-1).

Resolver ecuaciones lineales con el método de inversión

Propiedades de la matriz invertible

Sea A, B, A1, A2 ... Ak una matriz invertible de orden n, entonces

¡Figura!

例：

Supongamos que A, B, A + B son todos reversibles, demuestre ...

¡Figura!

Las propiedades de la matriz adjunta

Sea A una matriz invertible de orden n, (n> = 2)

luego

¡Figura!

2.4 | Matriz bloqueada

Los subíndices del subbloque, A mayúscula, están relacionados con la ubicación.

Igualdad de matrices de bloques

s=r,t=q,Aij=Bij,i=1,2.....s,j=1,2......t;
Ast,Brq；

El método de división es el mismo, las dos matrices son iguales [mismo tipo e iguales]

Entonces A = B.

Operación de matriz de bloques

El resultado de las operaciones de división y no bloque es el mismo.

1. Suma y multiplicación de matriz de bloques

A=(Aij)s×t，B=(Bij)s×t；

Aij，Bij同型矩阵，s=r,t=q,Aij=Bij,i=1,2.....s,j=1,2......t;

A+B=(Aij+Bij)s×t，

kA=(kAij)s×t.[乘到每个块上，再针对每个块乘]

• Método de bloque especial
  • A = (ɑ1 ɑ2 ɑ3 ɑ4) [Bloque por columna]

2. Multiplicación de la matriz de bloques

Regla de multiplicación :

Para dos matrices que se pueden multiplicar,

A的列分法=B的行分法，A行B列无所谓
遵循法则随便切~

1. A se divide en columnas y B no se divide: (ɑ1 ɑ2 ɑ3 ɑ4) (... ¡imagen!) = (Ɑ1-ɑ3 + ɑ4, -ɑ1 + ɑ2)
2. A no se divide, B se divide por columna = (β1 β2), determinante = A (β1 β2).
3. La columna de A = la fila de B—> garantiza que el subbloque se puede multiplicar;

Varios bloques de uso común:

• Bloque por fila
  • Figura
• Bloque por columna
  • Figura

实例：

1. La columna A está dividida en bloques, y la columna B no divide la C puede ser representada por la columna A linealmente.

2. La columna B se divide en bloques, A no se divide

3. La línea A está dividida en bloques, B no divide

4. La línea B está dividida en bloques, A no está dividida

   La columna de C se puede representar linealmente por la fila de B.

3. Transposición de la matriz de bloques

$$A=（Aij）s\times t$$

$$A^T=（Bij）t\times s=（A^{T}ji）t\times s$$

Transponga todo el bloque y luego transponga cada bloque pequeño.

4. Bloquear la matriz diagonal y su funcionamiento.

Nombre A =

¡Figura!

Es una matriz diagonal de bloques.

Propiedades de la multiplicación (regla de la matriz)

¡Figura!

Sub-diagonal

Inversión + inversión;

• Desmantelar elementos (solo uno de ellos se puede desmantelar) [la naturaleza del determinante]

  • Doblado

• Vector unitario εi

• La inversa de una matriz triangular superior invertible es también una matriz triangular superior

Show.

3. Transposición de la matriz de bloques

$$A=（Aij）s\times t$$

$$A^T=（Bij）t\times s=（A^{T}ji）t\times s$$

Transponga todo el bloque y luego transponga cada bloque pequeño.

4. Bloquear la matriz diagonal y su funcionamiento.

Nombre A =

¡Figura!

Es una matriz diagonal de bloques.

Propiedades de la multiplicación (regla de la matriz)

¡Figura!

Sub-diagonal

Inversión + inversión;

• Desmantelar elementos (solo uno de ellos se puede desmantelar) [la naturaleza del determinante]

  • Doblado

• Vector unitario εi

• La inversa de una matriz triangular superior invertible es también una matriz triangular superior

¡Inconcluso!

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Gracias pato ~

Fue escrito por primera vez el 2021/3/29.