2.4.1 definido (rama función de varios valores continua) \ (\ Omega \) región, \ (\ mathbb F.} {(Z) \) de \ (\ Omega \) funciones de valores múltiples en, si \ (F ( Z) \) en \ (\ Omega \) continua, y para cualquier \ (Z \ in \ Omega \) , \ (F (Z) \ in \ mathbb F.} {(Z) \) , llamada \ (f (z) \) de \ (\ mathbb {F} ( z) \) en la región de \ (\ Omega \) de forma continua en la rama.
2.4.2 Definiciones (parsing función de valores múltiples) (\ Omega \) \ región, \ (\ mathbb F.} {(Z) \) de \ (\ Omega \) funciones de valores múltiples en, si \ (F ( Z) \) en \ (\ Omega \) analíticamente, y para cualquier \ (Z \ in \ Omega \) , \ (F (Z) \ in \ mathbb F.} {(Z) \) , llamada \ (f (z) \) de \ (\ mathbb {F} ( z) \) en la región de \ (\ Omega \) del interruptor de análisis sintáctico en.
Propiedades del Ejemplo 2.4.3 función exponencial
(1) \ (\ forall z = x + iy \ in \ mathbb {C}, e ^ z = e ^ x (\ cos y + i \ sin y). \)
(2) \ (Z = X \ in \ R ^ mathbb {} \) , \ (E ^ Z \) consistente con la definición general, la función exponencial sólido.
(3) \ (| e ^ z | = e ^ x> 0. \)
(. 4) \ (E ^ Z \) en el (Z \) \ resolución del plano, y \ ((e ^ z) ' = e ^ z. \)
(5) \ (e ^ {+ z_1 Z_2} = e ^ {} z_1 e ^ {} Z_2. \)
(. 6) \ (E ^ Z \) a \ (2i \ pi \) es el periodo fundamental.
2.4.4 define una función logarítmica predeterminado es la inversa de la función exponencial, es decir, si \ (z \ neq 0, \ infty, \) satisface \ (z = e ^ w \ ) complejo \ (W \) llamado \ ( Z \) del valor, \ (Z \) todo el conjunto de valores denominados \ (Z \) el número, conocido como \ (Ln Z \) .
Específicamente, \ (Ln Z = \ {\ LN | Z | + I \ Arg Z + i2k \ PI, K \ in \ mathbb {Z} \} \.)
Si el \ (\ ln | z | + i \ arg z \) llamado un valor principal, referidos como \ (\ LN Z \) , entonces \ (Ln z = \ {\ ln z + i2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z} \}. \)
NOTA: Si el \ (Z \) considerado como un cero complejo, \ (Ln Z \) es el dominio de (\ mathbb {C} - \ . \ {0 \} \)
\ [Ln (z_ 1} {2} z_) = Ln + Ln z_1 Z_2, Ln (\ frac {} {z_1 Z_2}) = Ln-Ln z_1 Z_2. \]
2.4.5 Teorema (análisis logarítmico funciones analíticas) \ (\ Omega \) una sola región de la comunicación, \ (F (Z) \) en \ (\ Omega \) resoluble y no cero en todas partes en el \ (Ln f (Z) \) en \ (\ Omega \) tiene un interruptor de análisis sintáctico en \ (g (Z) \) , satisface \ (e ^ {g (z )} = f (z), \) y \ (Ln f ( Z) \) en \ (\ Omega \) todo del interruptor de análisis sintáctico en debe ser \ (g (z) + 2ik \ pi, k \ in \ mathbb {Z}, \) es decir, \ (Ln f (z) = \ {g (z) + i2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z} \}. \) de tal manera que \ (Ln f (z) \ ) en \ (\ Omega \) hay infinitamente muchos ramas en el análisis, y arbitraria analíticos dos ramas se diferencian \ (2 \ pi \) es un múltiplo entero.
Nota: (1) el teorema 2.4.5 muestra que si \ (Ln f (z) \ ) en una sola área de comunicación \ (\ Omega \) dos cualquiera del interruptor de análisis sintáctico en el (en z_0 \ \ Omega \) \ en los valores son iguales, entonces los dos constante igual de análisis.
(2) para la conveniencia, \ (Ln F (Z) \) en \ (\ Omega \) resuelto en la ramificación \ (g (z) \) abreviado como \ (\ LN F (Z) \) , si Hizo hincapié en que el específico, para dar el conjunto \ (z_0 \ in \ Omega \) , para determinar el \ () \ ln f (z \) en \ (z_0 \) valores.
2.4.6 (función logarítmica de análisis sintáctico) Ejemplo \ (\ Omega \) una sola región de la comunicación, \ (Z_0 \ no \ en \ Omega, \) entonces \ (Ln (z-z_0) \) en \ (\ Omega \) tiene un análisis \ (\ LN _ {\ omega} (Z-z_0) \) , satisface \ (e ^ {\ LN _ {\ omega} (Z-z_0)} = Z-z_0 \) y \ ( Ln (z-z_0) \) en (\ Omega \) \ Todo el interruptor de análisis debe estar en el \ (\ ln _ {\ Omega } (z-z_0) + 2k \ pi i, k \ in \ mathbb {Z}. \)
Demostración: Sea \ (F (z) = Z-Z_0 \) , entonces \ (f (z) \) en \ (\ Omega \) - Analítica, no cero en todas partes, el teorema 2.4.5 establecido.
Ejemplo 2.4.7 (multi-valor de la función argumento rama continua) \ (\ Omega \) una sola región de la comunicación, \ (Z_0 \ no \ en \ Omega \) , entonces \ (Arg (z-z_0) \) en \ ( \ Omega \) tiene una rama continua \ (\ Arg _ {\ Omega} (Z-Z_0) \) , en \ (\ Omega \) , el en \ (x, y \) no es la derivada parcial de cada piso, y \ ( Arg (z-z_0) = \ {\ arg _ {\ Omega} (z-z_0) + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {z} \}. \) de tal manera que \ (Arg (z-z_0) \) en \ (\ Omega \) hay infinitamente muchas ramas sucesivas, cualquier diferencia entre los dos \ (2 \ pi \) es un múltiplo entero.
Nota: \ (\ Arg (Z-Z_0) \) no se resuelve.
NOTA: conjunto \ (\ Gamma: z = \ gamma (t), \ t \ in [a, b] \) es tener una suave por partes curva (referido como ruta de acceso), si el \ (0 \ no \ en \ la gamma \) , es decir, \ (\ gamma (t) \ ) en \ ([a, b] \ ) no toma valor cero, la presencia de \ (\ rho (t) = | \ gamma (t) |, \ theta (t), t \ in [ a, b], \) suavizar a trozos función real, de manera que \ (\ Gamma (T) = \ rho (T) {E ^ I \ Theta (T)} \) .