动态规划之路径问题

1. 不同路径（medium）

1.题目链接：不同路径
2.题目描述：
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

3.问题分析：
对于动态规划关于路径问题的分析，首先需要选取某个位置，然后以该位置为起点或者结尾进行分析。如这题dp数组中i位置的结果是需要i-1、i-2等位置算出来的，这种情况就以i位置为结尾进行分析。

1. 状态表示：对于m*n的网格来说，每一个格子可以对应到一个二维数组中的元素，对于从起点到某点（i，j）由多少种不同路径是从起始位置进行计算，所以以（i，j）位置为结尾进行分析。用dp[i][j]表示：从起点位置到[i,j]位置处，一共有多少种方式。有时候是不知道状态表示是正确还是错误的，为此只能先往下分析
2. 状态转移方程：对（i，j）位置进行分析，dp[i][j]表示从起点位置到[i , j]位置处，一共有多少种方式，那么怎样才能到达 [i , j] 这个位置？因为只能往下或者往右走，所以到达 [i , j] 位置可以是 [i - 1, j] 或者是 [i , j - 1]这两个位置，两个位置的值进行相加 ，就是到达[i , j]位置处总共的方式。因此状态转移方程为：dp[i , j] = dp[i - 1, j] + [i , j - 1]。
3. 初始化：对于第一行第一列来说，进行-1操作会放生越界情况。可以用if语句判断一下，也可以添加一行一列，多出来的一行一列成为辅助节点，使⽤这种技巧要注意两个点：辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；下标的映射关系。初始化只将dp[0][1]位置初始化为1即可。
4. 填表顺序：从上往下填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候从左往右。
5. 返回值：返回dp[m][n]。
   

4.代码如下：

class Solution
{
    
    
public:
    int uniquePaths(int m, int n)
    {
    
    
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0)); // 创建⼀个 dp表
        dp[0][1] = 1; // 初始化
        // 填表
        for (int i = 1; i <= m; i++) // 从上往下
            for (int j = 1; j <= n; j++) // 从左往右
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        // 返回结果
        return dp[m][n];
    }
};

2. 不同路径II（medium）

1.题目链接：不同路径II
2.题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

3.问题分析
这道题和不同路径I区别就是这道题中的网格有障碍物，所以大致分析思路是相同的，就比如这道题是以[i, j]位置为结尾进行分析，状态表示也相同。

1. 状态表示：dp[i][j] 表示：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。
   以[i, j]位置为结尾进行分析，同上到题，到达 [i , j] 位置可以是 [i - 1, j] 或者是 [i , j - 1]这两个位置，两个位置的值进行相加 ，就是到达[i , j]位置处总共的方式；但是如果有障碍物呢？比如[i - 1, j] 或者是 [i , j - 1]其中有一个是障碍物，那么到达[i , j] 位置的所有方法就是其中一个某个不是障碍物的路径数。所以另一个有障碍的路径数为零，即遇到障碍物就不需要计算这个位置上的值，直接让它等于0。
2. 状态转移方程：同上一题dp[i , j] = dp[i - 1, j] + [i , j - 1]。不过如果这个位置上有障碍物，那么就不需要计算这个位置上的值，直接让它等于 0 即可。
3. 初始化：同上一题，可以添加⼀行，并且添加⼀列后，只需将dp[1][0]的位置初始化为1 即可。
4. 填表顺序：从上往下填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候从左往右。
5. 返回值：返回dp[m][n]。

4.代码如下

class Solution 
{
    
    
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) 
    {
    
    
        int m = obstacleGrid.size(), n = obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        dp[0][1] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; ++i)
        {
    
    
            for (int j = 1; j <= n; ++j)
            {
    
    
                if (obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 0)
                {
    
    
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

3. 礼物最大值（medium）

1.题目链接：礼物最大值
2.题目描述
在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

3.问题分析
这道题和上述两道又有所不同，但都属于同种类型，所以方法大致一样。先进行状态表示：用dp[i][j] 表示：⾛到 [i, j] 位置处，此时的最⼤价值。上述两题是要算出路径数，所以将[i - 1, j] 的路径数与[i , j - 1]的路径数相加。而这道题是要求路径上的最大价值，可以将[i - 1, j] 路径上的价值数与[i , j - 1]路径上的价值数进行比较，保留两个中较大的值然后再加上grid[i，j]位置上的值即可。

1. dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，此时的最⼤价值
2. 状态转移方程：从[i - 1, j] 位置，向下⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为 dp[i - 1][j] + grid[i][j] ； 从 [i, j - 1] 位置，向右⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为dp[i][j - 1] + grid[i][j]。
3. 初始化：同上一题，可以添加⼀行，并且添加⼀列后，所有的值都为 0 即可。
4. 填表顺序：从上往下填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候从左往右。
5. 返回值：返回dp[m][n]。

4.代码如下

class Solution
{
    
    
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid)
    {
    
    
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));

        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];

        return dp[m][n];
    }
};

4. 下降路径最小和（medium）

1.题目链接：下降路径最小和
2.题目描述
给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。
下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

3.问题分析
大致思路不变，先表示状态，用二维数组dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。然后进行分析，上述所示的问题，因只能向左或向下移动，所以[i，j]的路径数是将[i - 1, j] 的路径数与[i , j - 1]的路径数相加；而这道题位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) ；以[i，j]为结尾进行分析，到达[i，j]位置的上一层应当是[i - 1, j - 1]，[i - 1, j]，[i - 1, j + 1]中三者最小的一个，然后加上matrix[i，j]的值，然后遍历依次填写dp表即可。其中有越界问题，如[0, j]或[i, n - 1]位置，可以用辅助结点来解决，增加两列，一列在起始，另一列在末尾；最后寻找最后一行最小的值即为下降路径最小和。

1. dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。
2. dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j +1])) + matrix[i][j] 。
3. 初始化：需要加上两列，所有的位置都初始化为⽆穷⼤，将dp表第一行初始为matrix第一行（左右两列的辅助结点是无穷大）
4. 从上往下填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候从左往右。
   4.代码如下

class Solution 
{
    
    
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) 
    {
    
    
        int n = matrix.size();
        //初始化dp表,全部初始化为无穷大
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n + 2, INT_MAX));
        //=将dp表第一行初始为matrix第一行
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            dp[0][j + 1] = matrix[0][j];
        //从第二行第二列开始遍历
        for (int i = 1; i < n; ++i)
        {
    
    
            //在dp表中不是辅助结点的位置范围是1到n
            for (int j = 1; j <= n; ++j)
            {
    
    
                int x = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1]));
                dp[i][j] = x + matrix[i][j - 1]; //没有添加行，matrix对应的映射为i,j-1
            }
        }
        //寻找最后一行最小值
        int ret = dp[n - 1][0];
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            ret = min(ret, dp[n - 1][j]);
        return ret;
    }
};

5. 最⼩路径和（medium）

1.题目链接：最⼩路径和
2.题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。

3.问题分析
这道题与上述题基本一致了，分析就略过。

1. 状态表⽰：dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置处，最⼩路径和是多少。
2. 这道题是要求路径上的最小和，可以将[i - 1, j] 路径上的最小和与[i , j - 1]路径上的最小和进行比较，保留两个中较小的值然后再加上grid[i，j]位置上的值即可。
3. 添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让dp[0][1] = dp[1][0] = 0 即可。
4. 要返回的结果是dp[m][n]。因为添加了一行一列。
   4.代码如下

class Solution
{
    
    
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid)
    {
    
    
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

6. 地下城游戏（hard）

1.题目链接：地下城游戏
2.题目描述
恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。
有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。
为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。
返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

3.问题分析
这道题已知骑士到达公主所在地，也就是右下角，骑士此时所剩健康点数为1 ，求到达终点时，起始位置生命健康值的最小点数。所以这道题应该从右下角开始遍历，至于怎么遍历，看如下分析：状态表示：dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数； 以[i，j]位置为起点进行分析，有很多条路径可以到达终点，路径上有加血的，有减血的，我们要求什么？求的是血最多的时候？不是，求的是应该血量刚够过该路径的值 也就是dungeon数组中路径求和过程中各个路径负数的最大值的绝对值，所以减去 dungeon[i][j]就是所需的生命值，如果为dp结果负数，就说明能量值很大，而dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数，dp[i][j]大于0，出现负数就要赋值为1。负数就代表起始位置生命值最低值为负数，这很显然不肯能为负数。
位置[i + 1, j]或者 [i, j + 1]可以到达[i, j] 位置，dp的位置表示最低点数，所以选取 [i + 1, j]， [i, j + 1]两者中的较小值减去dungeon[i][j]就是dp[i][j]的最小值。

1. dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。
2. 状态转移方程：dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]；如果dp[i][j] <= 0,则dp[i][j] = 1。
3. 初始化：在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。
4. 填表顺序：需要从下往上填每⼀⾏，每⼀⾏从右往左。
5. 返回值：dp[0][0]。
   4.代码如下

class Solution
{
    
    
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon)
    {
    
    
        int m = dungeon.size(), n = dungeon[0].size();
        // 建表 + 初始化
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
        // 填表
        for (int i = m - 1; i >= 0; i--)
        {
    
    
            for (int j = n - 1; j >= 0; j--)
            {
    
    
                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j];
                if (dp[i][j] <= 0)
                {
    
    
                    dp[i][j] = 1;
                }
            }
        }
        // 返回结果
        return dp[0][0];
    }
};