图论——并查集（一）：并查集（Union Find）

好久没更文章了，不写笔记又开始心浮气躁了。
五一给自己放了八天假，在珠三角和男票玩的不亦乐乎，假期后就火葬场了~
咨询了一个去年成绩很好的学长，保外失败的原因是机试没pass，且夏令营竞争激烈，没有参加预推免等等。
据说机试题一年比一年难，虽说出了个读研去机试的政策，但还是先刷为敬。
然后再看看论文、做做项目吧，指望别人是指望不上了~还是要自己动手总结才学的明白呀。

Introduction

图论问题中常用的一种数据结构就是并查集（Union Find），用于处理不交集（Disjoint Sets）的合并和查询问题。

并查集有两个功能：

• 判断任意两个元素是否属于同一个集合
• 按照要求合并不同的集合

并查集的特点：

• 表示为树结构，每个结点都指向其父结点，在同一棵树上便属于同一个集合（如何判断同一棵树？不断向上查找 Find，根节点相同便是同一棵树）
• 合并 Union 时，将矮树作为高树子树合并（高树高度+1即可），尽量保持较低的树高（合并时矮树根节点指向高树根节点）

Sample

假设有4个城镇（结点），2条道路（2次合并操作）
道路分别连接
0 2
3 2 城市
最少还需要建设几条道路？

代码：

void Initial(int n){
    
    
	for(int i = 0; i <= n; ++i{
    
    
		father[i] = i;  // 初始化：每个结点的父亲为自己
		height[i] = 0;  // 高度为0
	}
}

• 初始化：每个结点的父亲为自己，高度为0
  

int Find(int x){
    
    
	if(x != father[x]){
    
     // 结点index和父节点相等的结点为根节点，不相等的就递归查找
	// 该结点的根节点等于父节点的父节点~ 一直往上找
		father[x] = Find(father[x]);
	}
	// 如果是根节点，直接返回
	return father[x];
}

void Union(int x, int y){
    
    
	x = Find(x);
	y = Find(y); // step 1: 找根节点
	if(x != y){
    
    
		if(height[x] < height[y]){
    
    
			father[x] = y; 
		}else if(height[y] < height[x]){
    
    
			father[y] = x; // step 2： 矮树作为高树的子树（矮树的fahter为高树index），高树高度不变
		}else{
    
    
			fahter[y] = x;
			height[x]++; // step 3： 当height相等时，一棵树嫁接到另一棵树的根节点上，所以高度仅+1~
		}
	}
	return ;
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int MAXN = 1000;
int father[MAXN];
int height[MAXN];

int main(){
    
    
	int n, m;
	while(scanf("%d", &n) != EOF){
    
    
		if(n == 0){
    
    
			break;
		}
		scanf("%d", &m);
		Initial(n);
		while(m--){
    
    
			int x, y;
			scanf("%d %d", &x, &y);
			Union(x, y);
		}
		int answer = -1;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
    
    
			if(Find(i) == i){
    
    
				answer++; // 这里题干的集合结点从1开始count~ 所以这样
				// count的是集合的数量，所以所需要再建的桥的数量为集合-1，故answer从-1开始~
			}
		}
	} 
	return 0;
}

Source

浙江大学复试上机题
solution

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int MAXN = 1000; 



int father[MAXN]; 
int height[MAXN]; 

// 初始化结点属性：父亲、高度
void Initial(int n){
    
     
    for(int i = 0; i <= n; i++){
    
    
        father[i] = i; 
        height[i] = 0; 
    }
}

// 递归查找根节点
int Find(int x){
    
    
    if(x != father[x]){
    
     
        father[x] = Find(father[x]); 
    }
    return father[x];
}

// 矮树作为高树子树or相同高度合并且高度+1or根节点相同不做操作
void Union(int x, int y){
    
    
    x = Find(x);
    y = Find(y);
    if(x != y){
    
     
        if(height[x] < height[y]){
    
    
            father[x] = y; 
        }else if(height[y] < height[x]){
    
    
            father[y] = x;
        }else{
    
      
            father[y] = x;
            height[x]++; 
         }
    }
    return ;
}

int main(){
    
    
    int n, m;
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
    
    
        if(n == 0){
    
    
            break; 
        }
        scanf("%d", &m);
        Initial(n);
        while(m--){
    
    
            int x, y;
            scanf("%d", &x);
            scanf("%d", &y);
            Union(x, y);
        }
        // 查找所有集合（父亲结点等于自身index的结点为根节点）
        // 连接数等于结点数-1，answer初始化为-1
        int answer = -1; 
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
    
    
            if(Find(i) == i){
    
     
                answer++;
            }
        }
        printf("%d\n", answer);
    }
    return 0;
}