最大公共子序列
题目描述
给定 2 个序列 X={x1,x2,…,xm}和 Y={y1,y2,…,yn}，找出 X 和 Y 的
最长公共子序列。
动态规划是啥
动态规划常常被用来替代分治法，与分治法类似只是划分子问题，解出子问题然后合并结果来得到大问题的解这上面类似，他俩的实现方法却有很大差别的，分治法他要解决子问题的话，可能会不断重复计算同一个子问题来得到次大问题的解，而动态规划不是，网上看到一个说法：
“1+2+3 = 6，那1+2+3+4等于多少？”
“10啊”
“为什么你能怎么快得到答案?”
“因为只要6+4就行了呀”
这就很形象地为我们介绍了动态规划，动态规划会把已经计算过的子问题的解保存下来（通过填写一个表），用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。
算法思路
公共子序列可以不连续，但公共子串要连续的，求最长公共子序列的长度很简单，填表之后找最后一个元素就行了。这里附上填表公式。注意，这里公式里的都指代lcs的长度。
公式（原图来源）：
但要找出这个公共子序列麻烦些，首先要放个二维数组存这个数的来历（是从之前加1得到的还是取最大来的）运用堆栈，将“是从第[i-1][j-1]加一得来的那个数的索引，根据索引获取原序列的数”添加到栈中，一直添加，之后出栈就好了。
c实现
#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;
void LCS(string s1,string s2)
{
int m=s1.length()+1;
int n=s2.length()+1;
int **c;
int **b;
c=new int* [m];
b=new int* [m];
for(int i=0;i<m;i++)
{
c[i]=new int [n];
b[i]=new int [n];
for(int j=0;j<n;j++)
b[i][j]=0;
}
for(int i=0;i<m;i++)
c[i][0]=0;
for(int i=0;i<n;i++)
c[0][i]=0;
for(int i=0;i<m-1;i++)
{
for(int j=0;j<n-1;j++)
{
if(s1[i]==s2[j])
{
c[i+1][j+1]=c[i][j]+1;
b[i+1][j+1]=1; //1表示箭头为 左上
}
else if(c[i][j+1]>=c[i+1][j])
{
c[i+1][j+1]=c[i][j+1];
b[i+1][j+1]=2; //2表示箭头向 上
}
else
{
c[i+1][j+1]=c[i+1][j];
b[i+1][j+1]=3; //3表示箭头向 左
}
}
}
for(int i=0;i<m;i++) //输出c数组
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
cout<<c[i][j]<<' ';
}
cout<<endl;
}
stack<char> same; //存LCS字符
stack<int> same1,same2; //存LCS字符在字符串1和字符串2中对应的下标，方便显示出来
for(int i = m-1,j = n-1;i >= 0 && j >= 0; )
{
if(b[i][j] == 1)
{
i--;
j--;
same.push(s1[i]);
same1.push(i);
same2.push(j);
}
else if(b[i][j] == 2)
i--;
else
j--;
}
cout<<s1<<endl; //输出字符串1
for(int i=0;i<m && !same1.empty();i++) //输出字符串1的标记
{
if(i==same1.top())
{
cout<<1;
same1.pop();
}
else
cout<<' ';
}
cout<<endl<<s2<<endl; //输出字符串2
for(int i=0;i<n && !same2.empty();i++) //输出字符串2的标记
{
if(i==same2.top())
{
cout<<1;
same2.pop();
}
else
cout<<' ';
}
cout<<endl<<"最长公共子序列为：";
while(!same.empty())
{
cout<<same.top();
same.pop();
}
cout<<endl<<"长度为："<<c[m-1][n-1]<<endl;
for (int i = 0; i<m; i++)
{
delete [] c[i];
delete [] b[i];
}
delete []c;
delete []b;
}
int main()
{
string s1="ABCPDSFJGODIHJOFDIUSHGD";
string s2="OSDIHGKODGHBLKSJBHKAGHI";
LCS(s1,s2);
return 0;
}