Introduction
Principal component analysis is a dimensionality reduction algorithm that can convert multiple indicators into a few
principal components. These principal components are linear combinations of original variables and are
not related to each other. It can reflect the largeness of the original data. Part of the information. Generally speaking,
when the research problem involves multiple variables and there is a strong correlation between the variables ,
we can consider using principal component analysis to simplify the data.
step
- Sample standardization
- Calculate the standardized sample covariance matrix
- Calculate the eigenvalues and eigenvectors of R
- Calculate the contribution rate of the principal component and the cumulative contribution rate
- Use the score matrix to calculate the principal components
- Explain the meaning of principal components
Misunderstanding
For principal component analysis after dimensionality reduction, it can generally be used well for clustering and regression, but it cannot be used for evaluating models
Suggest
- spss software is faster and more convenient
- Don't forget to standardize the data
- Have a good explanation of the principal components
Matlab code
clear;clc
load data1.mat % 主成分聚类
% load data2.mat % 主成分回归
% 注意，这里可以对数据先进行描述性统计
% 描述性统计的内容见第5讲.相关系数
[n,p] = size(x); % n是样本个数，p是指标个数
%% 第一步：对数据x标准化为X
X=zscore(x); % matlab内置的标准化函数（x-mean(x)）/std(x)
%% 第二步：计算样本协方差矩阵
R = cov(X);
%% 注意：以上两步可合并为下面一步：直接计算样本相关系数矩阵
R = corrcoef(x);
disp('样本相关系数矩阵为：')
disp(R)
%% 第三步：计算R的特征值和特征向量
% 注意：R是半正定矩阵，所以其特征值不为负数
% R同时是对称矩阵，Matlab计算对称矩阵时，会将特征值按照从小到大排列哦
% eig函数的详解见第一讲层次分析法的视频
[V,D] = eig(R); % V 特征向量矩阵 D 特征值构成的对角矩阵
%% 第四步：计算主成分贡献率和累计贡献率
lambda = diag(D); % diag函数用于得到一个矩阵的主对角线元素值(返回的是列向量)
lambda = lambda(end:-1:1); % 因为lambda向量是从小大到排序的，我们将其调个头
contribution_rate = lambda / sum(lambda); % 计算贡献率
cum_contribution_rate = cumsum(lambda)/ sum(lambda); % 计算累计贡献率 cumsum是求累加值的函数
disp('特征值为：')
disp(lambda') % 转置为行向量，方便展示
disp('贡献率为：')
disp(contribution_rate')
disp('累计贡献率为：')
disp(cum_contribution_rate')
disp('与特征值对应的特征向量矩阵为：')
% 注意：这里的特征向量要和特征值一一对应，之前特征值相当于颠倒过来了，因此特征向量的各列需要颠倒过来
% rot90函数可以使一个矩阵逆时针旋转90度，然后再转置，就可以实现将矩阵的列颠倒的效果
V=rot90(V)';
disp(V)
%% 计算我们所需要的主成分的值
m =input('请输入需要保存的主成分的个数: ');
F = zeros(n,m); %初始化保存主成分的矩阵（每一列是一个主成分）
for i = 1:m
ai = V(:,i)'; % 将第i个特征向量取出，并转置为行向量
Ai = repmat(ai,n,1); % 将这个行向量重复n次，构成一个n*p的矩阵
F(:, i) = sum(Ai .* X, 2); % 注意，对标准化的数据求了权重后要计算每一行的和
end
%% (1)主成分聚类 ： 将主成分指标所在的F矩阵复制到Excel表格，然后再用Spss进行聚类
% 在Excel第一行输入指标名称（F1,F2, ..., Fm）
% 双击Matlab工作区的F,进入变量编辑中，然后复制里面的数据到Excel表格
% 导出数据之后，我们后续的分析就可以在Spss中进行。
%%（2）主成分回归：将x使用主成分得到主成分指标，并将y标准化，接着导出到Excel，然后再使用Stata回归
% Y = zscore(y); % 一定要将y进行标准化哦~
% 在Excel第一行输入指标名称（Y,F1, F2, ..., Fm）
% 分别双击Matlab工作区的Y和F,进入变量编辑中，然后复制里面的数据到Excel表格
% 导出数据之后，我们后续的分析就可以在Stata中进行。