[Image segmentation] Intuitionistic fuzzy C-means clustering image segmentation IFCM [Matlab 120] [Image processing 37]

. Introduction to Fuzzy Theory

   在日常生活中，有许多事物或多或少都具有模糊性，模糊虽难以捉摸，但却非常重要。模糊理论强调以模糊逻辑来描述现实生活中的事物，以弥补二值逻辑无法对不明确定义边界事物描述的缺点。人类的自然语言在表达上具有很大的模糊性，难以用二值逻辑来完全描述现实生活中的事物。故模糊理论将模糊概念以模糊集合的定义，将事件属于某集合程度的隶属函数加以模糊量化，得到隶属度，来处理问题。

   模糊聚类就是用模糊数学的方法，把样本之间的模糊关系定量，从而客观准确地进行聚类，使得各个类之间的数据差别应尽可能大，类内之间的数据差别应尽可能小，即最小化类间的相似性，最大化类内的相似性。而模糊C均值就是一种应用最广泛且较成功的模糊聚类方法。它通过优化目标函数得到每个样本点对所有类中心的隶属度，从而决定样本点的类属以达到对样本进行分类的目的。

2. Application of Fuzzy Theory

   1965年，Zadeh教授提出了著名的模糊集理论，创建了一个新的学科——模糊数学，主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等方面的内容。其中模糊集合理论是对传统集合理论的一种推广，能较好的描述人类视觉中的模糊性，在模式识别的各个层次都可使用模糊集合理论。模糊理论主要解决在模式识别的不同层次出于信息不全面、不准确、含糊、矛盾等造成的不确定性问题。

2.1 Fuzzy clustering theory

   基于模糊集合的特点，模糊聚类方法应运而生。聚类，就是将一组给定的未知类标号的样本分成内在的多个类别，使得同一类中的样本具有较高的相似度，而不同的类中样本差别大。聚类分析的目的是揭示和刻画数据的内在结构，其内容涉及统计学、生物学、以及机器学习等研究领域，并在模式识别、数据分析和挖掘、图像处理等领域获得了广泛的应用。

   1973年，J.C. Bezdek提出了里程碑式的模糊C均值聚类算法(FCM)[1]，通过引入样本到聚类中心的隶属度，使准则函数不仅可微，且软化了模式的归属。

   在众多模糊聚类算法中，FCM算法应用最广泛且较成功，它通过优化目标函数得到每个样本点对所有类中心的隶属度，从而决定样本点的类属以达到自动对样本数据进行分类的目的。

2.1.1 Principle of FCM algorithm

   根据聚类的数目C和一组包含n个L维向量的数据xk,用FCM算法输出元素的隶属度uij,它代表着数据xj是属于第i个类的概率，可以通过求下面式子(1)目标函数的最小值得到，通常取m=2。

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2.1.3 The pros and cons of FCM algorithm

   FCM算法优越于传统硬C均值聚类算法在于隶属度可以连续取值于 [0,1]区间，考虑到了样本属于各个类的“亦此亦彼”性，能够对类与类之间样本有重叠的数据集进行分类，具有良好的收敛性；而且FCM算法复杂度低，易于实现。然而，FCM也存在着不足之处，如目标函数在迭代过程中容易陷入局部最小、函数收敛速度慢、对初始值、噪声比较敏感等问题。下面从分析模糊C均值聚类划分矩阵的隶属度的含义、划分趋势出发，讨论一种可以改善FCM性能的算法——IFCM算法。在此之前需要引入新的概念，即直觉模糊集。

2.2 Intuitionistic fuzzy clustering theory

2.2.1 Introduction to intuitionistic fuzzy sets

   直觉模糊集(IFS)作为模糊集的重要拓展，通过增加新的属性参数——非隶属度γ和不确定度π，从而更加细腻地刻画客观世界的模糊性质，假设直觉模糊集A表示了样本x与论域X={x1,x2,…,xn }的关系，有：

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In summary, the algorithm steps of IFCM can be summarized as follows:
1) The first step is the same as FCM. First define a criterion function, select C initial cluster centers or initialize a random membership matrix (iteration initial conditions).
2) Introduce the uncertainty parameter and change the membership matrix into a fuzzy membership matrix.
3) Calculate the distance from the sample to the cluster center using the fuzzy membership matrix, and divide the sample into each class.
4) Recalculate the cluster center of each class and the distance from the sample to the cluster center. In each calculation, the intuitionistic fuzzy membership matrix is used to replace the original membership matrix, and the samples are re-divided into various classes.
5) Repeat steps 2, 3, and 4 until the criterion function is the smallest or reaches the specified threshold.
6) For image segmentation, map the iterated cluster centers to various image information, such as gray value, so as to realize the gray value classification of each pixel of the image.

3. Image segmentation based on fuzzy clustering

3.1 Overview of image segmentation

   图像分割就是把图像细分为构成它的对象或子区域，这些区域是互不相交的，每个区域都满足特定区域的一致性。分割的程度主要取决于人们想要解决的问题，当感兴趣的区域或对象已经被区分出来，分割就算完成。图像分割是图像处理中的重要问题，也是计算机视觉研究中的一个经典难题。计算机视觉中的图像理解包括目标检测、特征提取和目标识别等，都依赖于分割的质量。


   目前，图像分割算法一般是围绕亮度值的两个基本特性设计的：不连续性和相似性。亮度值的不连续性的应用途径主要是基于像素点特性（如灰度值）的不连续变化分割图像，如最常用的边缘检测。而利用亮度值的相似性可以形成一套机制，即依据事先指定的准则将图像分割为相似的区域。一些实例包括门限处理、区域分离、区域生长和聚类等。而采用模糊C均值聚类及其扩展算法进行图像分割的好处是避免了阈值的设定问题，聚类的过程不需要人工干预，只需输入预想的分类数目即可实现自动化的图像分割。

3.2 The significance of fuzzy membership matrix in image segmentation

   在图像分割中，模糊隶属度可用于表示一幅灰度图像中一像素点属于一个灰度值中心的程度，因此只需要寻找像素点对某灰度值中心的最大隶属度，即可将该像素点划分到该灰度级的区域中去。对于灰度图像分割，模糊隶属度的计算公式可写成：

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