每个学习过线性代数的人，心中一定充满疑问，往往百思难得其解，本书列举一些，并且自然而然地解决了这些问题，

导读

如果你有幸拿到这本书，恭喜你！你将获得最自然和最本质的解读线性代数的方式。

每个学习过线性代数的人，心中一定充满疑问，往往百思难得其解，本书列举一些，并且自然而然地解决了这些问题，希望你读完本书后对这些问题有透彻理解。如果你从零开始学习，则希望你带着这些问题仔细阅读本书。

1. 线性代数用来解决什么问题的？线性代数以向量和矩阵为工具，解决线性空间中向量的合成与分解问题。

2. 矩阵是什么？可以多角度观察，是有序向量组，是线性变换，甚至是数值表格。

3. 矩阵乘法为什么那么定义，初看很变扭，其实很自然？就是向量合成。

4. $AB \neq BA$，矩阵乘法一般情况下为什么不满足交换律，因为它们本来就是两个完全不同的对象。实数乘法满足交换律是个定理，需要证明，a个b的和居然等于b个a的和，多么不可思议！

5. 矩阵行列式 $det A$ 计算公式为什么那么复杂，这个数值到底代表什么？它其实就是A的列向量组构成的多边形的有向体积。那为什么要定义成体积呢？因为当A的列向量组线性相关（不可逆）时，此多边形的体积为0。

6. $(AB)^T＝B^TA^T; (AB)^{-1}＝B^{-1}A^{-1}$，矩阵转置和逆的公式为什么如此相似？因为方程 $A\mathbf {x}=\mathbf{b}$ 的解空间为 $A^T\mathbf{u}$，与解 $A^{-1}\mathbf{b}$ 形式相似。正交矩阵的转置等于逆： $Q^T=Q^{-1}$。

7. 为什么只有方阵才可能有逆，方阵的列向量组线性无关时为什么可逆呢？因为此时方阵是个一一映射的变换。

8. 矩阵有逆，其实还有左逆、右逆和伪逆，你知道吗？它们对应矩阵行列均满秩，列满秩、行满秩和列行均不满秩，它们分别用于求唯一解、最优近似解、范数最小解和最优近似解中范数最小的解（伪逆解）。

9. $A\mathbf {x}=\mathbf{b}$ 对任意矩阵 $A$ 存在通解公式吗？伪逆解 $＋$ 零解！

10. 矩阵的秩能用一句大白话让小学生深刻理解吗？秩就是方程 $A\mathbf {x}=\mathbf{0}$ 独立方程的数量。

11. 向量组线性无关为什么如此重要，因为它保证方程 $A\mathbf {x}=\mathbf{b}$ 是单射。

12. 矩阵 $A_{mn}$ 的四个子空间：零空间 $\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}$ 和行空间 $\{A^T\mathbf{u}\}$，它们是 $R^n$ 空间中的正交互补子空间；左零空间 $\{\mathbf{x}:A^T\mathbf{x}=\mathbf{0}\}$ 和列空间 $\{A\mathbf{v}\}$ ，它们是 $R^m$ 空间中的正交互补子空间。它们是方程 $A\mathbf {x}=\mathbf{b}$ 的核心概念！零空间 $\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}$ 就是零解；行空间和列空间的维度相等，等于矩阵秩，这两个子空间构成一一映射，变换矩阵分别为 $A_{mn}$ 和伪逆 $A^+_{nm}$ ；左零空间 $\{\mathbf{x}:A^T\mathbf{x}=\mathbf{0}\}$ 不能被列空间 $\{A\mathbf{v}\}$ 表示。如果没有理解这四个子空间，就不可能深刻理解方程 $A\mathbf {x}=\mathbf{b}$ 。

13. 注意到矩阵 $A^TA$ 和 $AA^T$ 的重要性吗？它们对计算左逆、右逆和伪逆极其重要，四个矩阵 $A^TA$ 、 $AA^T$ 、 $A^T$ 和 $A$ 秩均相同。

14. 对称矩阵的谱定理 $S=Q\Lambda Q^T$ 和任意矩阵的奇异值分解 $A=U\Sigma V^T$ ，它们之间的内在联系你知道吗？

15. 矩阵分解的目的是什么？如 $S_n=Q\Lambda Q^T$ ， $A_{mn}=U\Sigma V^T$ ， $A_n=X\Lambda X^{-1}$ ， $A_n=LD U$ ， $A_{mn}=QR$ ， $A_n=XJ X^{-1}$ ， $A_n=QR Q^T$ ，是为了各个分量尽可能解耦和简化方程 $A\mathbf {x}=\mathbf{b}$ 求解。由于矩阵的性质不同，故有各种分解形式。

16. 你会证明奇异值分解 $A=U\Sigma V^T$ 定理吗？

17. 奇异值分解的应用你真正掌握了吗？数据压缩（矩阵低秩最优近似）、数据降维（PCA）、总体最小二乘法（TLS）、数据高度相关时如何拟合（伪逆或岭回归）。

18. 矩阵特征值数值不稳定，而奇异值稳定，知道原因吗？

19. 如何计算高阶矩阵的特征值？解方程吗，可是4阶以上方程无代数解啊！