"约数研究"问题的算法优化和推导证明（洛谷P1403题题解，Java语言描述，含Latex公式编辑知识）

题目要求

P1403题目链接

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分析

这是一个数论题，这种数学题你要是盲目开暴力可能会很菜或者想不出思路，这里讲讲比较666的思路。

$O(n)$复杂度解法

可以用纯数学证明一种时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$的算法：

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma(i) = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}1 = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d=1}^{n}{[d|i]} = \sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{[d|i]} = \sum\limits_{d=1}^{n}{\lfloor{\frac{d}{i}}\rfloor}$

而对于该算法具体实现的解读可以推荐看这篇 $dalao$的文章

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我可以给大家看一下我是怎么编辑公式的，这个对大家也很有用的：

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Latex语法补充

向上取整： $\lfloor x \rfloor$

$\lfloor x \rfloor$

向下取整： $\lceil x \rceil$

$\lceil x \rceil$

分数： $\frac{x}{y}$

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$\frac{x}{y}$

积分号： $\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma(i)$

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma(i)$

注意，想要上下限不在右侧而是上下侧，需要加上\limits

$Want$ $To$ $Know$ $More$ $?$ $Look$ $At$ $Here$ $!$

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实在看不懂？没关系（除非你是搞竞赛的），你看得懂代码就行了！

AC代码（Java语言描述）

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int num = scanner.nextInt();
        scanner.close();
        int result = 0;
        for(int i = 1, j; i <= num; i = j+1) {
            j = num/(num/i);
            result += (num/i)*(j-i+1);
        }
        System.out.println(result);
    }
}