经典动态规划模型归纳总结（最大连续子序列和、LIS、LCS、最长回文子串、数塔DP、DAG最长路、01背包、完全背包）

1 模型列举

1.1最大连续子序列和

详细内容
令dp[i]表示A[i]结尾的连续序列最大和（A[i]必须为连续序列的末尾）【不然就会产生多个相同的dp[i]】

状态转移方程：
dp[i] = max (A[i], d[i -1] + A[i]);
边界：
dp[0] = 0;

1.2最长不下降子序列（LIS）

详细内容
令dp[i]表示最长不下降序列长度（必须以A[i]结尾），

状态转移方程
$dp[i] = max_{ j \in 1,2,...,i -1 并且 A[j] < A[i]} {(1, dp[j] + 1)}$

边界：
dp[i] = 1;

1.3 最长公共子序列LCS

详细内容
令dp[i][j]表示字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的LCS长度(下标从1开始)

状态转移方程
$dp[i][j]=\left\{ \begin{aligned} dp[i-1][j-1],A[i] = B[i] \\ max\{dp[i-1][j],dp[i][j-1]\},A[i] != B[i] \\ \end{aligned} \right.$
边界：dp[i][0] = dp[0][j] = 0(0<= i <= n, 0 <= j <=m)

1.4 最长回文子串

详细内容
令dp[i][j]表示S[i]至S[j]所表示的子串是否是回文串，是则为1，不是为0，

状态转移方程
$dp[i][j]=\left\{ \begin{aligned} dp[i+1][j-1],S[i] = S[i] \\ 0,S[i] != S[i] \\ \end{aligned} \right.$

边界：dp[i][i] = 0, dp[i][i+1] = (S[i] == S[i+1])? 1 : 0

1.5 数塔DP

详细内容
令dp[i][j]表示从第i行第j个数字出发的到达最低层的所有路径上所能得到的最大和

状态转移方程
dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i + 1][j +1])+f[i][j]
边界（直接确定其结果）：数组dp最后一层dp总是等于元素自身

1.6 DAG最长路

详细内容
令dp[i]表示从i号顶点出发的获得的最长路径长度

状态转移方程
不固定终点/不固定终点：
$dp[i] = max\{dp[j] + lenght[i \longrightarrow j] ｜(i,j\in E)\}$
边界：
不固定终点：
从出度为0的顶点出发的最长路径长度为0（对整个数组dp初始化为0）
固定终点：
dp[T] = 0 （T为终点，初始化dp数组作为一个负的大数）

1.8 0-1背包

详细内容
令dp[i][v]表示前i件物品( 1 $\leq$ i $\leq$ n, 0 $\leq$ v $\leq$ V)恰好装入容量为v的背包中所能获得的最大值

状态转移方程
$dp[i][v] = max_{ 1 \leq i \leq n，w[i] \leq v \leq V }{\{dp[i-1][v], dp[i-1][v - w[i]]+ c[i]\}}$

边界：
dp[0][v]=0（0 $\leq$ v $\leq$ V）

1.9 完全背包

详细内容
令dp[i][v]表示前i件物品( 1 $\leq$ i $\leq$ n, 0 $\leq$ v $\leq$ V)恰好装入容量为v的背包中所能获得的最大值。

状态转移方程：
$dp[i][v] = max_{ 1 \leq i \leq n，w[i] \leq v \leq V }{\{dp[i-1][v], dp[i][v - w[i]]+ c[i]\}}$
边界：d[0][v] = 0 (0 $\leq$ v $\leq$ V)

2 总结

2.1 类型一

XXX：为原问题的描述

• 第一节1～4都是有关序列或字符串的问题（一般来说“子序列可以不连续、子串必须要连续”），
  • （1）（2）的设计状态都是“令dp[i]表示以A[i]结尾的XXX”，
  • 而 （3）（4）由于原问题本身就有二维性质，因此使用了“令dp[i][j]表示i号位和j号位之间XXX“的状态设计方式“

当题目与序列和字符串（记为A）有关时，可以考虑把状态设计为下面两种形式，然后根据端点特性考虑状态转移方程。

• 1 令dp[i]表示以A[i]结尾（或开头）的XXX
• 2 令dp[i][j]表示i号位和j号位之间XXX

2.2 类型二

（5）～（8），它们的状态设计都包括了某种“方向” 的意思，
如数塔DP设计为从(i,j)出发到达最底层的最大和
DAG设计为从i号顶点出发的最长路
背包问题设计为前i件物品恰好放容量为v的背包中能获得的最大价值。

当题目中的状态需要几维来表示，然后对其中的每一维采取下面的某一种描述：

• 1 恰好为i
• 2 前i
  在每一维的含义设计完毕之后，dp数组的含义就可以设置为“令dp数组恰好为i（或前i），恰好为j（或前j）……的XXX”，然后就可以通过端点的特性来考虑状态转移方程

大多数情况，可以把动态规划可解的问题看成一个有向无环图（DAG），图中的结点就是状态，边就是状态转移方向，求解问题的顺序就可以按照DAG的拓扑顺序进行求解。