2014 Winter Programming School, Kharkiv, day 1 (E. Kapun) G.A path to knowledge(最短路条数/期望)

题目

n(1<=n<=1e5)个点的无向图，m(0<=m<=1e5)条边，

从点1到点n按最短路走，再从点n到点1按最短路返回，

若有多条最短路，随机选一条，

输出点i(1<=i<=n)可能被经过的次数的期望

题解

去和回是等价的，所以答案等价于去的二倍，

而单次一个点被经过的期望等价于被经过的概率，

即经过这个点的最短路条数除以1到n的最短路总条数，

考虑flow按最短路流的过程，

即上游多少种最短路选择，下游多少种选择，最短路条数即为二者乘积

由于最短路条数在最坏情况下分子分母可为2的指数级，故用e的ln换底，只存指数

，即定义指数a+指数b，返回指数

由于最后概率值不到1，而指数不超过1e5，故可行

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int> pii;
const ll INF=2e18;
const int N=1e5+10;
const int M=2e5+10;
using namespace std;
int head[N],cnt;
ll dis1[N],dis2[N];
double num1[N],num2[N];
bool vis[N];
struct edge{int to,nex;ll w;}e[M];
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q;
void init()
{
	cnt=0;
	for(int i=0;i<N;++i)
	{
		dis1[i]=dis2[i]=INF; 
		head[i]=-1;
	}
}
void add(int u,int v,ll w)
{
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].w=w;
	e[cnt].nex=head[u];
	head[u]=cnt++;
}
double logadd(double a,double b)//存指数  
{
	if(a<b)swap(a,b);
	return a+log(1+exp(b-a));//e^a+e^b=e^(a+ln(1+e^(b-a))
}
void dijkstra(int u,double num[],ll dis[])
{
	while(!q.empty())q.pop(); 
	memset(vis,0,sizeof vis);
	num[u]=0;dis[u]=0;
	q.push(pii(dis[u],u));	
	while(!q.empty())
	{
		pii tmp=q.top();
		q.pop();
		int pos=tmp.second;
		ll d=tmp.first;
		if(vis[pos])continue;
		vis[pos]=1;
		for(int i=head[pos];~i;i=e[i].nex)
		{
			int v=e[i].to;
			ll w=e[i].w;
		    if(dis[v]>dis[pos]+w)
		    {
		   	 	dis[v]=dis[pos]+w;
		   	 	num[v]=num[pos];
		    	q.push(pii(dis[v],v));
		    }
		    else if(dis[v]==dis[pos]+w)
		    {
		    	num[v]=logadd(num[v],num[pos]);
			}
		}
    }
}
int n,m;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	init();
	int u,v;ll w;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d%I64d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);add(v,u,w);
	}
	dijkstra(1,num1,dis1);
	dijkstra(n,num2,dis2);
	double ans,all=num1[n];
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(dis1[i]+dis2[i]!=dis1[n])ans=0;
		else ans=2.0*exp(num1[i]+num2[i]-all);
		printf("%.8lf%c",ans," \n"[i==n]); 
	}
	return 0;
}