【网络流】

前置

• 一个流网络(flow network)\(G=(V,E)\)是一个有向图,每个边\((u,v)\in E\)有一个非负容量(capacity) \(c(u,v)>=0\). 对于不在\(E\)中的\((u, v)\), 规定\(c(u, v)=0\)
• 有两个特殊结点: 源(source)\(s(s\in V)\)和汇(sink)\(t(t\in V)\).
• 假设对于任意其他点v, 存在通路\(s\rarr v\rarr t\)

• 流是一个边的函数\(f(u,v)\)，流量函数\(f(x,y)\,(x\in V,y\in V)\) 满足：

•容量限制：\(\forall(u,v),\;0\le f(u,v)\le c(u,v)\)

•对称性：\(f(u,v)=-f(v,u)\)

•收支平衡：对于不是\(s\)或\(t\)的其他点\(u\),有\(\sum\limits_{v\in V}f(u,v)=0\)

•把整个网络的流量定义为(即从s流出的流量):\(|f|=\sum\limits_{v\in V}f(s,v)\)
• 最大流问题: 寻找流函数\(f\), 使得网络流最大

•其他

等价条件：
1) f是最大流
2)残量网络中无可增广路
3)存在某个切割(S,T), |f|=c(S,T)

每次找边数最少的增广路进行增广
• 定理：最多增广O(nm)次
• Edmonds-Karp：每次BFS找增广路，无需维护附加信息
• Dinic：多次BFS构造层次图，DFS找增广路。附加信息：
层次（起点到u的距离值）

最大流

luogu3376网络最大流【模板】

每次bfs找增广路 直到图中没有增广路

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define Min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
const int N=10000+5,M=100000+5,inf=0x3f3f3f3f,P=19650827;
int n,m,s,t,maxflow=0,pre[N],incf[N];
template <class t>void rd(t &x){
    x=0;int w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    x=w?-x:x;
}

int head[N],tot=1;
struct edge{int v,w,nxt;}e[M<<1];
void add(int u,int v,int w){
    e[++tot]=(edge){v,w,head[u]},head[u]=tot;
}

bool vis[N];
queue<int> q;
bool bfs(){
    while(!q.empty()) q.pop();
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    q.push(s),vis[s]=1,incf[s]=inf;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u],v,w;i;i=e[i].nxt)
        if(w=e[i].w){
            v=e[i].v;
            if(vis[v]) continue;
            incf[v]=Min(incf[u],w),pre[v]=i;
            q.push(v),vis[v]=1;
            if(v==t) return 1;
        }
    }
    return 0;
}

void upd(){
    int x=t;
    while(x!=s){
        int i=pre[x];
        e[i].w-=incf[t],e[i^1].w+=incf[t];
        x=e[i^1].v;
    }
    maxflow+=incf[t];
}

int main(){
    rd(n),rd(m),rd(s),rd(t);
    for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i)
    rd(u),rd(v),rd(w),add(u,v,w),add(v,u,0);
    while(bfs())
    upd();
    printf("%d",maxflow);
    return 0;
}