DAY 3

数据结构

1.堆

Priority_queue 大根堆

Priority_queue<int , vector<int> , greater<int> > 小根堆

支持插入一个值，删除最大/最小值

它重载了运算符或函数类

堆排序 P1090 合并果子哈夫曼树

2.LCA（最近公共祖先）

局限于树，倍增大法好

我们有一棵树，定义某个点的祖先为这个点到根节点的路径上的所有点

对于点A,B，他们会有一些公共祖先

一旦找到LCA，他们的所有公共祖先都可找到，LCA一定是最深的公共祖先

用途：找任意两点的最短路，AàLCA + BàLCA

步骤：

如果A的深度小于B的深度，就把他们交换（只是为了方便处理，跳较深的）

If( depA<depB) swap(A,B)

2. 把A，B调到同一深度

3. A,B同时上调直到A=B，找到LCA

复杂度是O（dep）的，但是如果你的树是一条链，那么还不如不用

考虑优化

P[x][i]，x的向上第2^i 个祖先

P[x][i]= P[P[x][i-1]][i-1]

(1) 优化：把A，B调到同一深度

我们发现A和B之间有深度差

比如 d[A]-d[B]=19

二级制分解19

19=10011

AàP[A][4] 16

AàP[A][1] 2

AàP[A][0] 1

(2) 优化：A,B同时上调

一开始A,B的祖先一直不一样，直到某个点，往后一样了就都一样了

我们不好确定最早的相同祖先的点，但是我们可以找到最后2个不相同祖先的x,y，那么此时，他们的父亲就会是LCA

For(i=16~0)

If(f[A][i]!=f[B][i])

A,B同时上跳2^i

复杂度O(logn)

LCA应用：

处理树上可以差分的信息

用到树上求A到B的最短路径：Aàgen + Bàgen - 2*LCAàgen

3.ST 表

只查询区间最大最小值，不修改，静态的

定义mx[i][j] 是 iài + 2^j -1 的最大值

如果要求区间[L,R]的最大值

比如区间 [19 46]

先求区间长度 46-19+1=28

发现它可以被两个16覆盖

PS：求区间最大值重叠不影响

覆盖区间长P=Floor(log2(L))

把[L,R]拆成两个区间 [L,P]和[R-2^P,R]，分成两半分别处理

比如递归求解max

st[i][j] = max(st[i][j-1], st[i + (1 << j-1)][j-1])

4.HASH

是一种函数

平时说的HASH就是：设计一个函数F(字符串) à int ,就是把字符串变成数字，

map 基于比较函数的红黑树

如果你在map中放字符串，两个字符串比较的复杂度O（字符串长度）

所以要开发一种新的方法

假设给你一个字符串 ababb，1表示a，0表示b

10100

ababb

回忆初学二进制，用类似的方法计算出一个值

b*2^0+b*2^1+a*2^2+b*2^3+a*2^4

HASH允许冲突，我们要尽量避免冲突，而不是根治冲突

给你一个乱码 yy1926

我们现在构造HASH

先确定几进制 P ，一个大质数，比字符串集大

那么计算它的值就是 6*p^0+2*p^1+9*p^2+1*p^3+y*p^4+y*p^5

前面数字还好啊，直接int计算了，那么对于字符呢？？

取其ASCII码，mod 998244353 （一个大质数）

不过为了方便，可以直接开unsigned ll

Unsigned ll范围 0 ~ 2^64 -1

你惊奇的发现2^64 -1是个质数

允许自然溢出，自然溢出相当于取模

用Unsigned ll存，用它计算，省去取模操作

为了避免冲突，你还可以取模两个数

HASH如何计算子串的hash？

希望设计一种算法，至少满足字符串拼接删除

比如现在有字符串 damengshen 和一个 p

d d

di d*p^1+i

din d*p^2+i*p^1+n

ding d*p^3+i*p^2+n*p^1+g

如果要求

ing的hash就是hash[ding]- hash[d]*p^3

ng的hash就是hash[ding]- hash[d]*p^2

我们维护了字符串每个前缀的hash值

发现p的指数难以确定，其实p的指数就是差的字符串的长度

令h[i]表示1~i的hash值

h[i]=h[i-1]*p+s[i]

hash[i][j]=h[j] - h[i-1]*p^(j-i+1)

5.并查集

没有必要保留树的结构，所以一个点的父亲可以直接指向它的代表源

路径压缩

int father(int x){
- return fa[x]==x? x: fa[x]=father(fa[x]);
- }

Father[x]à代表源

并查集 P3367 【模板】并查集

6.树状数组

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void modify(int x,int y){
    // add y to a[x]
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y;
}

int query(int x){
    // sum of a[1]...a[x]
    int ret=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ret+=c[i];
    return ret;
}

int query(int l,int r){
    return query(r)-query(l-1);
}