Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。
C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
也就是Lucas(n,m)%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
求上式的时候，Lucas递归出口为m=0时返回1
求C(n%p, m%p)%p的时候，此处写成C(n, m)%p(p是素数，n和m均小于p)
C(n, m)%p = n! / (m ! * (n - m )!) % p = n! * mod_inverse[m! * (n - m)!, p] % p
由于p是素数，有费马小定理可知，m! * (n - m)! 关于p的逆元就是m! * (n - m)!的p-2次方。
p较小的时候预处理出1-p内所有阶乘%p的值，然后用快速幂求出逆元，就可以求出解。p较大的时候只能逐项求出分母和分子模上p的值，然后通过快速幂求逆元求解。
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D
来源：牛客网
Chino的数学很差，因此Cocoa非常担心。今天，Cocoa要教Chino解不定方程。
众所周知，不定方程的解有0个或者若干个。
给出方程:
Cocoa想知道这个不定方程的正整数解和非负整数解各有几个。
题目对Chino来说太难啦，你能帮一帮Chino吗？
输入描述:
两个正整数m, n
输出描述:
题目要求的答案，即正整数解的个数和非负整数解的个数 。由于答案可能会很大，你只需要输出答案 mod(109 + 7) 即可。
示例1
输入
复制
4 7
输出
复制
20 120
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,m,p;
ll pow_m(ll a,ll k,ll p)
{
ll ans=1;
ll tmp=a%p;
while(k)
{
if(k&1)ans=ans*tmp%p;
tmp=tmp*tmp%p;
k>>=1;
}
return ans;
}
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
if(m>n)return 0;
ll a=1,b=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
a=a*(n+i-m)%p;
b=b*i%p;
}
return a*pow_m(b,p-2,p)%p;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
ll ans=1;
while(n&&m)
{
ans=ans*C(n%p,m%p,p)%p;
n/=p;
m/=p;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
p = 1e9 + 7;
printf("%lld %lld",Lucas(m-1,n-1,p), Lucas(n-1+m,n-1,p));
return 0;
}