宽带接收机中的非均匀采样技术研究之观测矩设计与信号重构理论（2018/8/18）（第三篇）

本文承接上一篇博文：宽带接收机中的非均匀采样技术研究之自然信号的稀疏表示（2018/8/18）（第二篇）

我们设计观测矩阵的原则，有很多种表达的方法，只我见到过的就有三四种了，但是呢？这些表达都是一个意思的不同的表达，或者说都是相互等价的。

我们这里就不直接把那么隐晦难懂的表达搬出来了，太恶心了。我们的原则就是观测矩阵 $\Phi$ 和稀疏矩阵 $\Psi$ 不相关，或者说相关性尽可能的小。

例如：《基于压缩传感的匹配追踪重建算法研究》读书笔记，这篇文章中，提到了一个重构算法，里面的观测矩阵取得是

Phi = randn(M,N);

这里是产生一个随机矩阵（Gaussian /Bernoulli Distribution），与原始信号X相乘，这个随机矩阵与原始信号X的稀疏基不相关，因此能达到要求。

有关观测矩阵的简单说法就说完了，至少我知道的说完了，那么下面就还得把论文中的说法拿出来看看，搞研究的，这也得了解了解吧。

在 CS 理论的实际应用中，我们只能使用非常有限的观测值。要想利用低维的有限数据对原始信号进行较为精确的重构，则所得的观测数据必须尽可能多的包含原始信号的信息。而观测数据的特性又是受观测矩阵限制的，所以究其本质，必须对观测矩阵进行必要的限制，以保证在对信号进行降维的过程中保持信息的完整性。

Candès 和 Tao 已经证明，在满足有限等距(RIP)性质的条件下，可以利用观测数据精确地对原始信号完成重构。对于 K 项稀疏信号的 RIP 特性可作如下定义：

其中， Φ 表示 M*N 的观测矩阵， $\delta_k$ 表示 K 阶有限等距常量，在满足 $\delta_k\in [0,1)$ 时，则 Φ 满足 RIP 特性，在这种条件下，由观测矩阵 Φ 的任意 K 个列向量所构成的子集近似是正交的，这就可以保证了两个 K 项稀疏信号在同一观测系统下是不会重叠的。因此采用这样的观测矩阵 Φ 得到的观测信号可以精确地重构出原始信号。

上面的公式是不是猛一下就懵逼了，再一看更懵逼，仔细再看看还是懵逼。。。

就是这个RIP性质非常的难懂，研究人员又提出了一种等价的说法，以期望减少对后来者的打击：

然而要想证明一个已知的观测矩阵是否满足 RIP 特性是非常困难的。为了说明观测矩阵和稀疏度的关系，Baraniuk 等人提出了一种与 RIP 特性等价的判决条件。我们对其做如下简要介绍：我们定义相关系数为：

其中， $\mu \in [1,\sqrt{N}]$ , $\mu (\Phi,\Psi)$ 表示 Φ 和 Ψ 列向量相关性， $\mu$ 的值越小，表示 Φ 和 Ψ 越不相关，通过压缩采样得到的观测值便可以保留原始信号的较多特性。在很大程度上分布一致的随机矩阵都可以看作是服从 RIP 特性的，如：伯努利随机矩阵、托普利滋矩阵、部分哈达玛矩阵、傅里叶矩阵、高斯随机矩阵等都可以作为观测矩阵的选择。

这样，观测矩阵的设计就到此为止吧，路还很长，需要研究的东西还有很多，如果你想很通透地了解观测矩阵的了解，这也是有很多工作量的，我的重点不在于此，就暂时打住吧。

下面是信号的重构理论，关于信号的重构，一开始关于压感，这方面的研究是最多的吧，这里给出一篇我以前看过的文章，写的方法也挺多的，基于压缩传感的匹配追踪重建算法研究。

我的这篇博文中，也介绍了一个实例，代码据说是香港大学沙威的，我不是太了解，那还是很感谢这个人的，写了这么一个还算通俗易懂的压感例子，让后来者受益颇多。

《基于压缩传感的匹配追踪重建算法研究》读书笔记

说了这么多，下面就正式进入论文中有关这方面的说法吧。

信号重构一直都是压缩感知理论的三个组成部分中最为重要的一个。在一般情况下，重构算法都选用全局非自适应的方法，这些方法都是利用稀疏变化矩阵，观测矩阵以及观测向量来对原始信号进行重构，其问题核心都是求解一个受限于 $l_0$ 范数的优化问题。

假设 Y 是观测到的数据，根据样本 Y ，通过求解一个最优化问题可以实现对原始信号的重构。设 M 为观测点数， N 为原始信号在奈奎斯特频率下的采样点数，由于满足M<<N，所以对等式 $Y = \Phi X= \Phi \Psi \alpha$ 求解会得到无数个解，这是一个病态的方程组。

但是，如果信号 X 在变换基 Ψ 下的投影是 K 稀疏的，则可以将该问题转化为带有约束的最优化问题，可表示如下：

其实我们知道 $X = \Psi \alpha$ ，因此 $\alpha = \Psi^{T} X$ ，这样上面的最优化问题就是 $min\left \| \alpha \right \|_0, s.t. Y=\Phi X= \Phi \Psi \alpha$ ，也就是说在满足 $Y=\Phi X= \Phi \Psi \alpha$ 的条件下，求这样一个 $\alpha$ ，它的零范数最小，也就是 $\alpha$ 中非零元素个数最小。

其中， $\left \| \Psi^TX \right \|_0$ 表示 $\Psi^TX$ 的 $\l_0$ 范数。尽管如此，在最小 $\l_0$ 范数的约束下求解稀疏凸优化问题仍然是非常困难的。为了能在 RIP 条件下，寻找一种更容易的实现方法显得尤为重要。在最优解不容易得到的情形下，常常会选择将问题转化为求问题的次优解，从而得到原始信号的近似值。寻找次优解的主要方法有：贪婪算法和凸优化算法。

通常在使用凸优化算法对最优化问题进行求解时，常使用以 $l_1$ 范数代替 $l_0$ 范数，故将式(2-11)做如下改写：

常见的凸优化算法有基追踪(BP)算法，迭代阀值法等。虽然利用凸优化算法可以对原始信号进行较为精确的重构，但是计算量大，导致信号重构的时间花费较大也是该算法的一大弊端。和凸优化算法不同，贪婪算法则是通过反复迭代的方法来寻找局部最优解，最后由这些局部最优解来对原始信号进行近似表示。比较常见的贪婪算法有以下几种：匹配追踪算法(MP)、正交匹配追踪算法(OMP)。

相对于凸优化算法来说，贪婪算法在实现上比较简单，同时计算量也比凸优化算法的小，在对重构精度要求不是很严苛的情况下，贪婪算法是个不错的选择。

除了上面介绍的几种算法外，组合算法也是使用较多的一种信号重构算法。其中，链式追踪算法和 HHS 追踪算法等都是比较常见的组合算法。但是在使用组合算法时，对原始信号采样是有特殊要求的，不适用于所有的压缩采样。

在选择算法时要综合考虑，不同的算法都有其各自优缺点，不能简单的说哪种算法最好。总的来说，凸优化算法由于需要观测数据的次数较少，相对于其它重构算法而言，该算法需要处理的数据量比较大，在实际应用中对数字处理器的要求比较高。贪婪追踪算法的综合性能居中。所以本文最终选择 OMP 算法作为信号重构算法。

重构理论就介绍到这里吧。

下面讨论对于本论文最重要的部分：非均匀采样基础理论。

本文本来就是讨论如何实现一个非均匀采样平台，所以非均匀采样才是重点。

宽带接收机中的非均匀采样技术研究之观测矩设计与信号重构理论（2018/8/18）（第三篇）

猜你喜欢