学习手记(2018/7/14~???)

2018/7/14：普通的纪中一天

儿子兄弟表示法

将一颗多叉树转换为二叉树的方法，左子节点连原树的第一个儿子，右子节点连原树的右边的兄弟

适用范围：树形dp

数位dp常见方法

1. 状态压缩
2. 分类讨论
3. 记忆法（记忆化搜索）

手推exgcd

$$ax+by=gcd(a,b)$$
$$bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)$$
展开 $(a\%b)$
$$bx'+(a-\lfloor a/b\rfloor b)y'=gcd(b,a\%b)$$
拆开括号
$$bx'+ay'-\lfloor a/b\rfloor by'=gcd(b,a\%b)$$
将 $a$和 $b$取出
$$ay'+b(x'-\lfloor a/b\rfloor y')=gcd(b,a\%b)$$
$$\because gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$
$$\therefore ay'+b(x'-\lfloor a/b\rfloor y')=ax+by$$
将两边的 $a$和 $b$取出
$$y'+(x'-\lfloor a/b \rfloor y')=x+y$$
然后由于两边是等价的
$$\therefore \left\{\begin{matrix} \\ x=y' \\ y=(x'-\lfloor a/b \rfloor y') \\ \\ \end{matrix}\right.$$

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2018/7/16：腐败普通的纪中一天

gcd证明

$$我们设d=gcd(a,b)$$
$$\because d\mid a,d\mid b$$
$$\therefore d\mid a\%b$$
$$设gcd(b,a\%b)=d'$$
$$\because d'\mid b,d'\mid a\%b$$
$$\therefore d'\mid a$$
$$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$

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2018/7/17：颓废普通的纪中一天

时间复杂的与数据范围

$$n\leqslant 15\ \ \ ：\ \ \ O(2^n)$$
$$n\leqslant 70\ \ \ ：\ \ \ O(n^4)$$
$$n\leqslant 500\ \ \ ：\ \ \ O(n^3)$$
$$n\leqslant 5000\ \ \ ：\ \ \ O(n^2)$$
$$n\leqslant 10^4\ \ \ ：\ \ \ O(n\sqrt n)$$
$$n\leqslant 10^5\ \ \ ：\ \ \ O(n\ \ (log\ n)^2)$$
$$n\leqslant 5*10^5\ \ \ ：\ \ \ O(n\ \ log\ n)$$
$$n\leqslant 10^6\ \ \ ：\ \ \ O(n\ \ log\ log\ n)$$
$$n\leqslant 5*10^6\ \ \ ：\ \ \ O(n)$$
$$n\leqslant 2147483647\ \ \ ：\ \ \ O(\sqrt n)$$
$$n\leqslant max\_longlong\ \ \ ：\ \ \ O(log\ n)$$

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2018/7/18：罕见正常的纪中一天

gcd的和之一

$$\sum_{i=1}^n gcd(n,i)$$
$$=$$
$$\sum_{d|n} \varphi(n/d)\times d$$
证明与例题： https://blog.csdn.net/mr_wuyongcong/article/details/81104903

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2018/7/19：倒数第二天的纪中一天