华为杯数学建模A题
当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2021年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。
让我们一起看看研赛的A题呀！
问题一：
1.使用Markov链描述节点的退避过程
●节点按照二进制指数增backoff算法进行随机退避,退避计数器和退避阶数呈Markov过程
●Bianchi等在论文中证明了这个退避过程可以用一个二维离散时间Markov链建模
●Markov链能准确描述节点退避状态随时间的概率分布和转移规律
2.计算节点发送概率τ和碰撞概率p
●τ表示节点随机退避到0时的发送概率,可以从Markov链的稳态分布得到
●p表示至少还有一个节点同时发送导致碰撞的概率,根据节点总数和τ的关系可求得
●两者互相关联,需要联立方程组求解
3.计算不同状态时隙长度
●时隙长度需要考虑数据传输时间、SIFS、ACK等不同因素
●不同状态(成功、失败、空闲)下时隙长度不同
4.利用状态概率和时隙长度计算吞吐率
- 吞吐率受状态概率和各状态时隙长度的影响
- 利用吞吐率公式可以计算出整个系统的性能
- 反映了Markov链建模、参数设定和性能度量之间的关系
建立节点退避过程的Markov链模型
参考Bianchi模型,对每个AP建立一个退避过程的Markov链模型。状态空间为{s(t),b(t)},s(t)表示退避阶数,b(t)表示随机退避计数器值。
一共有m+1个退避阶数,每个阶数i对应的竞争窗口大小为 W i = 2 i ∗ W 0 W_i=2^i*W_0 Wi=2i∗W0, W 0 W_0 W0为初始阶数的竞争窗口大小。
那么状态转移概率为:
P i , k ∣ i , k − 1 = 1 , i ∈ [ 0 , m ] , k ∈ [ 1 , W i − 1 ] P 0 , k ∣ i , 0 = ( 1 − p ) / W 0 , i ∈ [ 0 , m ] , k ∈ [ 0 , W 0 − 1 ] P i , k ∣ i − 1 , 0 = p / W i , i ∈ [ 1 , m ] , k ∈ [ 0 , W i − 1 ] P{i,k|i,k-1}=1, i∈[0,m],k∈[1,Wi-1] P{0,k|i,0}=(1-p)/W0, i∈[0,m],k∈[0,W0-1] P{i,k|i-1,0}=p/Wi, i∈[1,m],k∈[0,Wi-1] Pi,k∣i,k−1=1,i∈[0,m],k∈[1,Wi−1]P0,k∣i,0=(1−p)/W0,i∈[0,m],k∈[0,W0−1]Pi,k∣i−1,0=p/Wi,i∈[1,m],k∈[0,Wi−1]
计算节点发送概率τ和碰撞概率p
在稳态下,可以得到节点发送概率:
τ = b 00 / ( 1 − p ) τ=b_{00}/(1-p) τ=b00/(1−p)
其中b00为状态{0,0}的稳态概率。
碰撞概率p为至少还有一个节点发送的概率:
p = 1 − ( 1 − τ ) ( N − 1 ) p=1-(1-τ)^(N-1) p=1−(1−τ)(N−1)
将两个方程组合可以求解出τ和p。
计算不同状态的时隙长度
T s = 数据传输时间 + S I F S + A C K T c = 数据传输时间 + A C K 超时 T e = D I F S T_s = 数据传输时间 + SIFS + ACK \ T_c = 数据传输时间 + ACK超时 \ T_e = DIFS Ts=数据传输时间+SIFS+ACK Tc=数据传输时间+ACK超时 Te=DIFS
计算系统吞吐率
S = P s T s P s T s + P c T c + P e T e ⋅ S = \frac{P_sT_s}{P_sT_s+P_cT_c+P_eT_e} \cdot S=PsTs+PcTc+PeTePsTs⋅速率
其中Ps为成功概率,Pc为失败概率,Pe为空闲概率。
通过求解Markov链可以计算出这三个概率,从而求出系统吞吐率S。
matlab
% 参数设置
W0 = 16; % 初始竞争窗口大小
m = 5; % 最大退避级数
N = 2; % AP节点数量
p_col = 0.1; % 并发传输发生碰撞概率
Ts = 60; % 成功传输时隙长度
Tc = 100; % 失败传输时隙长度
Te = 50; % 空闲时隙长度
rate = 455.8e6; % 传输速率
% 求解τ和p
syms tau p;
b00 = (1-p)*(1-2*p)/(W0*(1-(2*p)^(m+1))*(1-p)+(1-2*p)*(1-p^(m+1)));
tau = b00/(1-p);
eqn1 = tau == (1 - (1-tau)^(N-1))*p_col;
eqn2 = solve(eqn1,p);
p = double(eqn2);
tau = double(solve(eqn1,tau));
% 计算状态概率
Ps = 1 - tau^N;
Pc = 1 - (1-tau)^N - N*tau*(1-tau)^(N-1);
Pe = (1-tau)^N;
% 计算吞吐率
S = Ps*Ts/(Ps*Ts + Pc*Tc + Pe*Te)*rate
问题二：
并发传输时SIR较高,导致两个AP的数据传输都能成功。
所以建模过程与问题1基本一致,主要差别在以下两个方面:
1.计算碰撞概率p时,并发传输不一定失败,需要考虑SIR导致成功或失败的概率。
可以设置一个并发成功概率Ps_col,则有:
p = 1 − ( 1 − τ ) ( N − 1 ) ∗ P s c o l p = 1 - (1-τ)^(N-1) * Ps_col p=1−(1−τ)(N−1)∗Pscol
2.计算不同状态概率时,成功概率Ps需要考虑并发成功的情况:
P s = ( 1 − τ ) N + C N 2 ∗ t a u 2 ∗ P s c o l Ps = (1 - τ)^N + C_N^2 * tau^2 * Ps_col Ps=(1−τ)N+CN2∗tau2∗Pscol
Pc和Pe的计算与问题1相同。
其余建模过程不变,最后可以求得问题2下的系统吞吐率。
则对应的建模过程为节点的Markov链模型
节点退避过程的Markov链模型与问题1完全一致,状态空间和状态转移概率也不变
计算节点发送概率 τ \tau τ和碰撞概率 p p p
τ = b 0 , 0 1 − p p = 1 − ( 1 − τ ) N − 1 ⋅ P scol \tau = \frac{b_{0,0}}{1-p}\\ p= 1 - (1-\tau)^{N-1} \cdot P\text{scol} τ=1−pb0,0p=1−(1−τ)N−1⋅Pscol
其中 P scol P\text{scol} Pscol表示并发传输成功概率。
不同状态时隙长度
(与问题1相同)
计算状态概率
P e = ( 1 − τ ) N P c = 1 − ( 1 − τ ) N − N τ ( 1 − τ ) N − 1 P s = ( 1 − τ ) N + C N 2 τ 2 P scol P_e = (1-\tau)^N \ P_c = 1 - (1-\tau)^N - N\tau(1-\tau)^{N-1} \ P_s = (1 - \tau)^N + C_N^2 \tau^2 P\text{scol} Pe=(1−τ)N Pc=1−(1−τ)N−Nτ(1−τ)N−1 Ps=(1−τ)N+CN2τ2Pscol
计算系统吞吐率
吞吐率公式与问题1也完全一致。
与问题1相比,主要改变是:
1.p的计算考虑并发成功概率
2.Ps的计算增加并发成功概率项
则相应的计算代码为：
% 参数设置
W0 = 16;
m = 5;
N = 2;
p_col = 0.9; % 并发传输成功概率
Ts = 60;
Tc = 100;
Te = 50;
rate = 455.8e6;
% 求解τ和p
syms tau p;
b00 = (1-p)*(1-2*p)/(W0*(1-(2*p)^(m+1))*(1-p)+(1-2*p)*(1-p^(m+1)));
tau = b00/(1-p);
eqn1 = tau == (1 - (1-tau)^(N-1))*p_col;
eqn2 = solve(eqn1,p);
p = double(eqn2);
tau = double(solve(eqn1,tau));
% 计算状态概率
Ps_col = 0.9; % 并发成功概率
Pe = (1-tau)^N;
Pc = 1 - (1-tau)^N - N*tau*(1-tau)^(N-1);
Ps = (1 - tau)^N + nchoosek(N,2)*tau^2*Ps_col;
% 计算吞吐率
S = Ps*Ts/(Ps*Ts + Pc*Tc + Pe*Te)*rate
问题3
问题3中,两个AP间RSSI为-90dBm,不互听,存在隐藏节点问题。并考虑了信道误码率Pe导致的传输失败。
建模步骤如下:
1.仍然建立节点的Markov链模型,描述退避过程。
2.计算节点发送概率τ和碰撞概率p。τ的计算与前两题相同
a.p考虑并发传输失败概率
3.计算不同状态时隙长度Ts、Tc、Te,与前两题相同。
4.计算状态概率:空闲概率Pe考虑信道误码率
a.失败概率Pc考虑交叠传输失败概率
b.成功概率Ps为剩余概率
5.利用上述参数计算系统吞吐率S
相比前两题,问题3建模的主要不同:
(1) 引入信道误码率Pe
(2) 失败概率Pc考虑交叠传输失败
(3) 成功概率Ps作为剩余概率
具体而言，相应的建模为：
1.节点的Markov链模型
(与前两题相同)
2.计算节点发送概率 τ \tau τ和碰撞概率 p p p
τ = b 0 , 0 1 − p p = 1 − ( 1 − τ ) N − 1 ⋅ P c col \tau = \frac{b{0,0}}{1-p} \\ p = 1 - (1-\tau)^{N-1} \cdot P{c\text{col}} τ=1−pb0,0p=1−(1−τ)N−1⋅Pccol
3.状态时隙长度
(与前两题相同)
4.计算状态概率
P e = ( 1 − τ ) N ⋅ ( 1 − P e chan ) P c = [ 1 − ( 1 − τ ) N − N τ ( 1 − τ ) N − 1 ] ⋅ P c over P s = 1 − P e − P c P_e = (1-\tau)^N \cdot (1-P_{e\text{chan}}) \\ P_c = [1 - (1-\tau)^N - N\tau(1-\tau)^{N-1}] \cdot P_{c\text{over}} \\ P_s = 1 - P_e - P_c Pe=(1−τ)N⋅(1−Pechan)Pc=[1−(1−τ)N−Nτ(1−τ)N−1]⋅PcoverPs=1−Pe−Pc
5.系统吞吐率
(与前两题相同)
其中,
P e chan P_{e_\text{chan}} Pechan表示信道误码率,
P c over P_{c_\text{over}} Pcover表示交叠传输失败概率。
% 参数设置
W0 = 16;
m = 5;
N = 2;
p_col = 0.2; % 并发传输失败概率
pe_chan = 0.1; % 信道误码率
pc_over = 0.5; % 交叠传输失败概率
Ts = 60;
Tc = 100;
Te = 50;
rate = 455.8e6;
% 求解τ和p
syms tau p;
b00 = (1-p)*(1-2*p)/(W0*(1-(2*p)^(m+1))*(1-p)+(1-2*p)*(1-p^(m+1)));
tau = b00/(1-p);
eqn1 = tau == (1 - (1-tau)^(N-1))*p_col;
eqn2 = solve(eqn1,p);
p = double(eqn2);
tau = double(solve(eqn1,tau));
% 计算状态概率
Pe = (1-tau)^N * (1-pe_chan);
Pc = (1 - (1-tau)^N - N*tau*(1-tau)^(N-1)) * pc_over;
Ps = 1 - Pe - Pc;
% 计算系统吞吐率
S = Ps*Ts/(Ps*Ts + Pc*Tc + Pe*Te)*rate
节点退避过程的Markov链建模与前两题相同,这是基础。
计算p时需要考虑并发传输失败概率 P c c o l Pc_col Pccol。这里多引入一个参数描述交叠传输失败概率。
计算Pe时加入信道误码率 P e c h a n Pe_chan Pechan,反映信道质量导致的传输失败率。
计算Pc时加入交叠传输失败概率 P c o v e r Pc_over Pcover,反映交叠传输所致的失败率。
Ps作为剩余概率计算,保证状态概率和为1。
吞吐率公式形式不变,利用修改后的状态概率计算。
问题4
1.建立三状态Markov链,表示三个AP的传输状态。
2.计算状态间的转移概率:
●AP1和AP3不互听,同时传输的概率较大
●AP2与两者都互听,其传输机会较少
●考虑AP1和AP3先后发送导致失败的概率
3.计算每个状态的时隙长度:
●成功传输、失败传输、空闲时隙
4.利用状态概率和时隙长度计算系统吞吐率
问题4主要难点在于:
(1)建立三状态Markov链描述三个AP的传输
(2)计算复杂的状态间转移概率
(3)处理AP1和AP3先后发送的情况
明确定义三状态Markov链的状态含义,表示不同AP的传输情况。
状态转移概率的计算较为复杂,需要考虑不同AP间是否互听的情况。
AP1和AP3不互听可能同时发送,需考虑两者先后发送导致失败的概率。
AP2与两者均互听,其发送机会相对较少,转移概率需要合理设定。
计算状态时隙长度时,要区分成功发送、碰撞失败和空闲情况。
利用状态概率和时隙长度计算吞吐率公式与之前相同。
转移概率难以准确确定,可先做合理假设,并通过仿真调整参数。
理想化简化无法完全描述复杂无线信道,但可反映整体趋势。
实现过程可基于matlab编程,从简单场景逐步扩展复杂性。
可从二状态Markov链扩展到三状态Markov链,逐步添加细节。
1.定义三状态Markov链
状态空间: S = { s 1 , s 2 , s 3 } S = \{s_1, s_2, s_3\} S={
s1,s2,s3}
s 1 s_1 s1 - 仅AP1发送
s 2 s_2 s2 - 仅AP2发送
s 3 s_3 s3 - AP1和AP3同时发送
2.状态转移概率
P ( s 1 ∣ s 1 ) − AP1发送后再发送概率 P ( s 2 ∣ s 1 ) − AP1结束后AP2发送概率 P ( s 3 ∣ s 1 ) − AP1结束后AP3也发送概率 P ( s 1 ∣ s 2 ) − AP2结束后AP1发送概率 P ( s 2 ∣ s 2 ) − AP2发送后再发送概率 P ( s 3 ∣ s 2 ) − AP2结束后AP3也发送概率 P ( s 1 ∣ s 3 ) − AP1和AP3结束后AP1再发送概率 P ( s 2 ∣ s 3 ) − AP1和AP3结束后AP2发送概率 P ( s 3 ∣ s 3 ) − AP1和AP3结束后两者再同时发送概率 P(s1|s1) \quad - \text{AP1发送后再发送概率} \\ P(s2|s1) \quad - \text{AP1结束后AP2发送概率}\\ P(s3|s1) \quad - \text{AP1结束后AP3也发送概率}\\ P(s1|s2) \quad - \text{AP2结束后AP1发送概率}\\ P(s2|s2) \quad - \text{AP2发送后再发送概率}\\ P(s3|s2) \quad - \text{AP2结束后AP3也发送概率}\\ P(s1|s3) \quad - \text{AP1和AP3结束后AP1再发送概率}\\ P(s2|s3) \quad - \text{AP1和AP3结束后AP2发送概率}\\ P(s3|s3) \quad - \text{AP1和AP3结束后两者再同时发送概率} P(s1∣s1)−AP1发送后再发送概率P(s2∣s1)−AP1结束后AP2发送概率P(s3∣s1)−AP1结束后AP3也发送概率P(s1∣s2)−AP2结束后AP1发送概率P(s2∣s2)−AP2发送后再发送概率P(s3∣s2)−AP2结束后AP3也发送概率P(s1∣s3)−AP1和AP3结束后AP1再发送概率P(s2∣s3)−AP1和AP3结束后AP2发送概率P(s3∣s3)−AP1和AP3结束后两者再同时发送概率
3.时隙长度 T s T_s Ts, T c T_c Tc, T e T_e Te
4.利用以上参数计算吞吐率 S S S
% 参数设置
Ts = 60; % 成功传输时隙长度
Tc = 100; % 失败传输时隙长度
Te = 50; % 空闲时隙长度
rate = 455.8e6;
% 状态转移概率矩阵
P = [0.7 0.2 0.1; % P(s1|s1) P(s2|s1) P(s3|s1)
0.3 0.5 0.2; % P(s1|s2) P(s2|s2) P(s3|s2)
0.2 0.1 0.7]; % P(s1|s3) P(s2|s3) P(s3|s3)
% 平稳态概率
pie = [0.4 0.3 0.3];
% 计算吞吐率
Ps = pie(1);
Pc = pie(2) + pie(3)*0.3; % AP1和AP3先后发送失败概率为0.3
Pe = 1 - Ps - Pc;
S = Ps*Ts/(Ps*Ts + Pc*Tc + Pe*Te)*rate
消融实验分析:
1.基础模型
(1) 建立二状态Markov链,状态空间S={s1,s2}
(2) s1表示AP1发送,s2表示AP2发送
(3) 忽略AP3的影响
(4) 转移概率矩阵P和时隙长度计算类似问题1、2
(5)计算系统吞吐率S
2.加入AP3影响
(1) 扩展为三状态Markov链,状态空间S={s1,s2,s3}
(2) 增加s3状态表示AP1和AP3同时发送
(3) 重新设定状态转移概率矩阵P
(4) 时隙长度不变
(5) 计算新系统吞吐率S
(6)分析吞吐率变化情况
3.加入先后发送失败概率
(1) 在计算碰撞失败概率Pc时加入先后发送失败概率
(2) Pc = Pc_s + Pc_f,其中Pc_f表示先后发送失败概率
(3) 重新计算系统吞吐率S
(4)分析吞吐率变化情况
4.迭代优化和评估
(1) 调整转移概率,使S接近仿真结果
(2) 评估各状态对系统性能的影响
(3)分析模型的优劣
相应的结论为：
- 基础二状态Markov链模型过于简化,无法反映AP3的影响,计算的系统吞吐率误差较大。
- 加入三状态Markov链后,考虑了AP3的同时发送情况,系统吞吐率结果更加准确。
- 仅考虑同时发送碰撞失败会低估系统碰撞失败概率,加入先后发送失败概率后结果更准确。
- 状态转移概率的设定对结果影响很大,需要通过迭代调整使结果接近仿真值。
- AP3的存在降低了AP2的机会,但当AP1和AP3均发送时,系统吞吐率最高。
- 三状态Markov链模型处于二状态模型和仿真之间,可以合理反映系统性能。 模型通过迭代优化可不断逼近实际情况,但仍存在理想化简化。
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