python机器学习（三）特征预处理、鸢尾花案例--分类、线性回归、代价函数、梯度下降法、使用numpy、sklearn实现一元线性回归

K-近邻算法(K-Nearest Neighboor)

特征预处理

数据预处理的过程。数据存在不同的量纲、数据中存在离群值，需要稳定的转换数据，处理好的数据才能更好的去训练模型，减少误差的出现。

标准化

数据集的标准化对scikit-learn中实现的大多数机器学习算法来说是常见的要求，很多案例都需要标准化。如果个别特征或多或少看起来不是很像标准正态分布(具有零均值和单位方差，均值为0，单位方差为1)，那么它们的表现力可能会较差。将数据处理成标准化，或者接近于正态分布的数据。
在实际情况中，我们经常忽略特征的分布形状，通过以下公式去实现：$$X^{\prime }=\frac{x-mean}{\sigma }$$
去均值进行中心化，样本减去均值除以向量的标准差，进行缩放。缺点：特征比较多的时候，某一个特征的方差特别大，特别大的方差在学习算法的时候占有较大的地位，导致机器学习与我们的期望产生误差。

sklearn.preprocessing.MinMaxScaler(feature_range=(0,1)...)
MinMaxScaler.fit_transform(X)
X:numpy array格式的数据[n_samples,n_features]

数据预处理都在preprocessing下进行的，MinMaxScaler为标准化(归一化)的类。

• 例题：
  
  

sklearn.perprocessing.StandardScaler()
StandardScaler.fit_transform(X)
X:numpy array格式的数据[n_samples,n_features]

StandardScaler也是用来标准化的，默认的参数，with_mean = True,with_std=True，默认去中心化，去标准差。

鸢尾花案例–分类

实现步骤：

• 获取数据
• 数据基本处理
• 特征工程
• 机器学习(模型训练)
• 模型评估
  
  
  得到的准确率为：0.767，寻找更好的n_neighbors来得出准确率高一点的模型，n_neighbors的取值可以是{1，3，5，7…}，如果在模型训练的时候循环取值，就会创建很多个分类器，可以使用交叉验证自动的传入。

交叉验证

交叉验证，也叫循环估计，将数据集切割成10份，在建模的时候，拿出大部分的去训练模型，小部分的保留进行测试，不停的进行切割，直到每一个子样的集都作为测试集之后，把得出来的每一个的结果求平均，得到返回的结果。
得到的是平均的结果，比单次的结果更加可靠，比如考试十次得到的平均结果，比偶然考试得到的结果更加稳定。
目的：为了得到可靠稳定的模型

网格搜索

网格搜索，简单的说就是手动的给出一个模型中你想要改动的所用的参数，程序自动的帮你使用穷举法来将所有的参数都运行一遍。

交叉验证、网格搜索api

sklearn.model_selection.GridSearchCV(estimator,param_grid=None,cv=None)对估计器的指定参数值进行详尽搜索
estimator:估计器对象
param_grid:估计器参数(dict){
    
    "n_neighbors":[1,3,5]}
cv: 指定几折交叉验证
fit: 输入训练数据
score: 准确率

选参数的方式：

• 交叉验证网格搜索，只适合数据量较小的，这种方法的计算量大
• 随机搜索
• 贝叶斯调参

K近邻算法-回归

KNN算法不仅能做分类的问题，还能解决回归的问题。最常用的是均方误差。预测值减去真实值平方求和，除以个数。$$MSE=\frac{\sum _{i=1}^m(f(x_i)-y_i{)}^2}{m}$$

分析房子出租的情况，如果有个1室的房子，可以租多少钱。







得到的值比模型评估的均方误差值还要大，多了个特征并不是能更精确。
有房子的特征数据和房价，训练完房子的特征，传到模型里去，得出预测的房价。预测的房价与真实值之间存在误差，目标是找到最好的拟合线。

线性回归

高尔顿发现父母的身高比较高，子女也会高；父母矮，子女也会矮，如果父母双方都异常高或者异常矮，那么子女的身高会趋向于人的平均身高。皮尔逊收集了近千名成员的身高记录发现，父亲高的群体，儿辈的平均身高低于父辈的身高；父亲矮的群体，儿辈是平均身高高于父辈的身高，这样高的和矮的的儿辈一同“回归”到所有男子的平均身高，回归到中等。回归算法中最基础的就是线性回归。

线性回归定义

利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。
根据给定的楼盘价格，预测房价

上图中的点大致会回归为一条直线 $y=kx+b$，k为斜率，b为截距，如想买100平的房子，就可以大致预测出价格大致为430000左右，房子的尺寸是特征，价格是目标(标签)，线性回归算法是有监督学习的算法。

每一行都是一个样本数据，共有m个样本数据，size为特征，price为标签。

线性回归的流程如上图，用训练集训练算法，然后用算法去建模得到模型，有新的数据传进来去预测目标数据。

${\theta }_0$为截距，${\theta }_1$为斜率，图中的直线为简单的一元线性回归模型，只有1个变量预测出来的，也称为单变量线性回归模型。

代价函数(cost function)

目标：找到一条最好的拟合线，使得误差最小，也就是代价函数最小。
针对给出的点有真实的y值，在预测线上有个相对于线的y值，真实值$y^i$与预测值$h(x^i)$之间存在误差，结果$h(x^i)-y^i$有正有负，取绝对值进行求和为总误差，除以样本点的个数为均方误差。加上二分之一是为了后续计算方便，公式如下。

参数${\theta }_0,{\theta }_1$是未知的，目标是找到${\theta }_0,{\theta }_1$，使得$j({\theta }_0,{\theta }_1)$最小，简化使得截距最小，使${\theta }_0=0$，目标也变为了只求${\theta }_1$，使得$j({\theta }_1)$最小。

理解代价函数与$j({\theta }_1)$之间的关系。
下图右3个样本点，此时${\theta }_0=0,{\theta }_1=1$，代入到公式中，$h(x)=x$，得到$j({\theta }_1)=0$，代价函数为0。

如果${\theta }_0=0,{\theta }_1=0.5$，$h(x)=\frac{x}{2}$，代入公式中，代价函数的结果$j({\theta }_1)=0.58$。

如果${\theta }_0=0,{\theta }_1=0$，$h(x)=0$，画出的线与x轴完全重合，从点到线作垂线，误差是很大。

一个${\theta }_1$对应一个$h(x)$函数，${\theta }_1=1$时对应的是三个点连接的重合的线，${\theta }_1=0.5$时对应的一条偏离三个点向下的线，${\theta }_1=0$时对应的是与x轴重合的线。
加上${\theta }_0$后的图形为三维的图形，代价函数的值为曲面是深度，在同一条等高线上，$j({\theta }_0,{\theta }_1)$的值是相等的。

下图中右侧每一条线都是一条等高线，每一条线上的$j({\theta }_0,{\theta }_1)$是相等的，最小的圆是图形的底。图上随意取一点，对应的${\theta }_0$大概为800左右，对应的${\theta }_1$大概为-1.2左右，形成左侧的图形是个向下的蓝色线，与散点的关系不大，说明理合效果不好，意味着代价函数不是最小的，最小的在中心的位置。

下图中的${\theta }_0$大概为380左右，对应的${\theta }_1$为0，截距为380左右，斜率为0，平行于x轴，理合效果不好，代价函数也不是最小的。

假设点在底心，${\theta }_0$大概为220左右，对应的${\theta }_1$为0.12左右，截距220左右，斜率为0.12，理合出一条向上的直线，说明代价函数无限接近于最低点，局部最小值。
同一条等高线上的$j({\theta }_0,{\theta }_1)$是相等的，找到${\theta }_0,{\theta }_1$，使得误差最小，理合效果最好。如果一个点一个点试的话，会耗费大量的时间，当特征变多的时候，维度也会变高，很难可视化图形辅助得到最终的结果。目标是通过程序来自动的寻找代价函数最小值对应的${\theta }_0,{\theta }_1$，可以使用梯度下降法。

梯度下降法

梯度下降法就是可以使代价函数最小化的算法，应用到代价函数中求得最优解，是个非常常用的算法，被广泛的应用到各个领域，各个算法中。
目标：找到${\theta }_0,{\theta }_1$，使得$j({\theta }_0,{\theta }_1)$最小。
实现方式：刚开始并不知道要把${\theta }_0,{\theta }_1$定义为什么样的值，要先初始化${\theta }_0,{\theta }_1$，然后不停的去改变${\theta }_0,{\theta }_1$，使得$j({\theta }_0,{\theta }_1)$最小，直到找到$j({\theta }_0,{\theta }_1)$的最小值或局部最小值，才停止迭代。本质上相当于循环，不停的改变${\theta }_0,{\theta }_1$，直到找到最优的。

上图中，图形曲线像一座山，$j({\theta }_0,{\theta }_1)$相当于山的高度，要找到最小的代价函数，就是要找到山底。从最高点到最低点的时候，需要找到一个方向，相当于每走一段就要切换一次方向，重新判定应该走哪个方向，直到找到局部最低点。不同的方向得到的局部最低点是不一样的。

梯度下降法的数学应用

通过改变${\theta }_0,{\theta }_1$，来不停的调整方向，直到找到最优点。学习率也为梯度下降值，也就是说要移动的范围(走多大的步)，$\alpha$值很大的时候，意味着走很长一段路才调整方向，梯度下降的速度就比较快；$\alpha$值比较小的时候，向下移动的速度比较慢(走路的步伐就比较小)，梯度下降就比较慢。后面的内容相当于对${\theta }_j$进行求导。

求导

在进行计算的时候，${\theta }_0,{\theta }_1$要同时更新，如果说一个不变，另一个改变的话，就相当于一个方向已经稳定了，调整另外一个方向就不适合找到一个最优的解，两个同时更新的话，相当于就是360度在不停的寻找，达到最优的过程。

x轴为${\theta }_1$，曲线为$j({\theta }_1)$，此时${\theta }_0$为0，求导为求该点在曲线上的斜率，图上点出的斜率为正值，相减后${\theta }_1$就会减小，往x轴的左边移动，从曲线往下走，迭代到最优的位置，$j({\theta }_1)$的最小值，曲线的最低点。

上图中，点处的斜率是为负值，${\theta }_1$减去负值，意味着${\theta }_1$逐渐增大，往x轴的右边移动，经过不停的迭代，直到x轴的最优点。

学习率

当$\alpha$比较小的时候，系数比较小，移动的速度比较慢，好比小碎步的形式去下山，要走很多步才能到达最低点，学习率小的时候，梯度下降会很慢。

当$\alpha$比较大的时候，系数比较大，对斜率的影响也比较大，${\theta }_1$的值变化的也比较大，如下图中，本身点已经很接近最优值了，$\alpha$比较大的时候，可能一下子就跨过最低点，到达另一个距离最低点较远的区域，使得代价函数的值跨度大，来回震荡，很难找到最优的点。

在第一个点，斜率为正，点往x轴的左侧移动，到达第二个点的时候，斜率还是为正，但是斜率变小了，整体的值也变小了，后面移动的幅度就没有那么快了，到达第三个点，斜率仍然在减小，移动的幅度就更下了。

没有必要去特意减小$\alpha$，当学习率与求导进行乘积的过程中，会有个自动调节的过程，无论$\alpha$取多少，都会有个区域最优点的过程，只是移动快慢的问题。

通过调整斜率和学习率来调整${\theta }_j$，控制${\theta }_j$来找到一个最低点，这是一个重复的过程，将梯度下降法应用到代价函数中。

将$h(x)$代入式子中得到：对代价函数求导，可以分别对${\theta }_0$，${\theta }_1$求偏导

对${\theta }_0$求偏导，得到：

对${\theta }_1$求偏导，得到：

根据这两个导数来优化${\theta }_0,{\theta }_1$，方便对${\theta }_0,{\theta }_1$进行迭代，m为样本的个数，计算的是m个样本的总和。

非凸函数与凸函数

局部最优，可以得到几个最优解的都是非凸函数。没有局部最优，只有一个全局最优解的是凸函数，使用线性回归，就会收敛到全局最优，因为没有其他的全局最优。

使用numpy实现一元线性回归的梯度下降法

刚开始第0次迭代时截距b=0，斜率k=0，损失值= 2782.55，等50次迭代结束后，得到目前最优的拟合线，b=0.0305，斜率k=1.478，损失值= 56.3248。迭代次数过多，会影响到运算的效率，可以减少迭代的次数。

sklearn实现一元线性回归

直接拟合出最优的结果