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【2023年第三届长三角高校数学建模竞赛】A 题 快递包裹装箱优化问题 详细数学建模过程
1 题目
2022 年，中国一年的包裹已经超过 1000 亿件，占据了全球快递事务量的一半以上。近几年，中国每年新增包裹数量相当于美国整个国家一年的包裹数量， 十年前中国还是物流成本最昂贵的国家，当前中国已经建立起全世界最强大、最先进的快递物流体系。在包裹的打包环节，选取合适的包装耗材非常重要。由于包裹的基数大，因此每个包裹耗材成本的略微降低，也能带来极大的经济效益。图 1 是一些纸箱实物样式，图 2 是某种三维装箱示意图。
图1 纸箱样式图2 三维装箱示意图
附件 1 的装箱数据中给出了订单数据和耗材数据。根据以上背景，请你们的团队完成以下问题：
问题1： 针对附件1装箱数据中给出的订单数据和耗材数据，对每个订单，分别用箱子或袋子去装，请设计出合适的装载方案，要求使用耗材数量越少越好， 在耗材数量相同时，耗材总体积越小越好。给出每种耗材的使用总数和耗材总体积。
问题2： 针对附件1的数据，现在需要优化耗材的尺寸，请给出耗材尺寸的优化方案。要求优化后耗材的种数不变，只是改变耗材尺寸；对问题1中成功装载的物品，优化后的方案使用的箱子或袋子数尽量减少；总体积不能超过原方案的总体积；在耗材数量相同时，耗材总体积越小越好。给出优化后的每种耗材的具体尺寸、使用总数和耗材总体积。
问题 3： 以上两个问题假设货物与耗材都为刚性的，若货物与耗材存在柔性或者可轻微挤压的属性时，请重新完成问题 1、2。根据实际情况，这里考虑耗材伸展时，长、宽、高都不超过原尺寸的 5%。
提示：
1、需要分别给出箱装(全使用箱子作为耗材)、袋装(全使用袋子作为耗材) 以及两种耗材同时使用的方案。
2、物品长宽高可以任意互换，如case1中第一种物品可看成长170、宽110、高27，也可看成长110、宽170、高27。
3、用袋子装物品时，能够装下的判定标准为同时满足如下两个条件： 袋子长+袋子高≥物品长+物品高；袋子宽+袋子高≥物品宽+物品高。
4、在附件1装箱数据中，case序号相同的看作同一订单，同一订单的物品可以装在同一箱(袋)子里，不同订单的物品一定装在不同箱(袋)子里。
5、对附件1装箱数据中的某订单物品，若耗材无论如何不能装下，则不需要考虑该物品。
6、耗材的重量暂不考虑。
7、表1是订单表示例，表2是耗材信息表，更详细的数据见附件1。
表1 部分订单表（示例）
| case | L（长） | W（宽） | H（高） | num |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 170 | 110 | 27 | 7 |
| 1 | 210 | 200 | 30 | 1 |
| 2 | 105 | 105 | 100 | 2 |
| 2 | 135 | 110 | 110 | 5 |
| 3 | 208 | 140 | 18 | 5 |
| 3 | 90 | 90 | 75 | 1 |
| 4 | 115 | 65 | 35 | 1 |
| 5 | 250 | 190 | 53 | 3 |
| 6 | 140 | 140 | 48 | 2 |
| 6 | 225 | 80 | 35 | 2 |
| 7 | 292 | 166 | 87 | 1 |
| 7 | 320 | 240 | 70 | 1 |
| 8 | 228 | 148 | 26 | 2 |
表 2 耗材信息表
| 耗材名称 | 耗材类型 | 长 | 宽 | 高 | 重量 |
|---|---|---|---|---|---|
| 普通1号袋 | 袋 | 250 | 190 | 1 | 10 |
| 普通2号袋 | 袋 | 300 | 250 | 1 | 8 |
| 普通3号袋 | 袋 | 400 | 330 | 1 | 15 |
| 普通4号袋 | 袋 | 450 | 420 | 1 | 23 |
| 普通1号自营纸箱 | 箱 | 165 | 120 | 55 | 45 |
| 普通2号自营纸箱 | 箱 | 200 | 140 | 70 | 67 |
| 普通3号自营纸箱 | 箱 | 200 | 150 | 150 | 103 |
| 普通4号自营纸箱 | 箱 | 270 | 200 | 90 | 132 |
| 普通5号自营纸箱 | 箱 | 300 | 200 | 170 | 179 |
2 论文介绍
基于优化模型寻找最优快递装箱方案
摘要
本文针对快递包裹装箱优化问题，在分析题设所给的大量数据信息基础上，由于基数较大，通过算法编程，依据题目要求，不断优化找出最佳装箱方案。在建模基础上， 通过整合数据以及三维模拟订单数据，依托 MATLAB、Python 等软件，将数据归一化， 构造了一套求解问题的模型方案体系，包括贪婪算法、动态规划算法，并应用该方案体系解决题设所给问题。由于上述所给的典型算法具有局限性，因此在设计好对应的基础算法后，针对问题一、二、三，不断优化算法直至其满足题设所需要的最优方案。
对于问题一，首先分析题目，可知为一个双目标优化问题，根据实际，首先要先确定出最少的耗材数量，其次才考虑耗材体积，因此，首先分析每一个订单可以使用的所有包裹编号，其次找出这些包装中体积最小的编号即为本次方案的目标，初始方案就是通过编程设计算法，遍历所有数据，确定最终方案之后依据所出现的问题，不断优化算法，通过我们的优化，总体积从原来的 23110332000 降低到 788818500，大大减少了物流的成本。
对于问题二，在问题一的基础上，建立新的数学模型，计算每个订单所需最小空间。将修改后的算法模型应用其中，通过我们的优化，能够在保证总体积不超过原方案的前提下，进一步减少使用箱子或袋子的数量，以及耗材总体积。最终，我们节省了238895652 的体积，也进一步减少了成本。
对于问题三，仅需将问题一中的数据缩小为原来的 0.05，之后重复前两个问题的步骤即可。将问题 1 和问题 2 中的物品从刚性深度优先装箱问题转化为柔性二维装箱问题。我们将箱袋的尺寸进行微调，保证物品在宽、长、高方向上的伸展不超过原尺寸的0.05。对于这个问题，我们同样采用了贪心算法、动态规划等算法，最终得到了使耗材使用数量最少且总体积最小的解。在优化之后，我们节省了 150994261 的体积，同时达到了最优方案.
最后，我们对模型进行了优缺点分析和推广。
关键字： 打包优化 耗材数量 数学模型 贪心算法
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