【刷题笔记】之二分查找（搜索插入位置。在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置、x的平方根、有效的完全平方数）

1. 二分查找

题目链接 704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

1. 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。

2. n 将在 [1, 10000]之间。

3. nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

思路

进行二分查找的前置条件：数组有序并且数组中无重复元素

写二分查找题的代码，需要考虑清楚边界条件，比如应该是 while(left < right) 还是 where(left <= right)，应该是 right = mid - 1 还是 right = mid

主要在写代码时要考虑清楚区间的范围，必须要在二分查找的过程中，根据范围保持不变量，也就是在 while 中每一次边界的处理根据区间进行操作

写二分查找，区间的定义一般有两种，左闭右闭 [left , right]，左闭右开 [left , right)

写法一：左闭右闭

首先明确，我们定义的 target 是在区间 [left , right] 中，其次根据范围确定两点

• while (left <= right) 这里要使用 <=，因为是左闭右闭的区间， left == right 有意义

• if (nums[mid] > target) right = mid - 1，因为 nums[mid] > target，所以当前这个 nums[mid] 一定不是 target，并且是左闭右闭区间，所以缩小范围，right = mid - 1

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        if (target < nums[left] || target > nums[right]) {
            return -1;
        }
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if (nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }
}

写法二：左闭右开

首先明确，我们定义的 target 是在区间 [left , right) 中，其次根据范围确定两点

• while (left < right) 这里要使用 <， left == right 没有意义，因为是左闭右开的区间

• if (nums[mid] > target) right = mid ，因为 nums[mid] > target，所以当前这个 nums[mid] 一定不是 target，那么就要去左区间寻找，因为区间范围是左闭右开的，所以 right = mid，下一次查询区间不会去比较 nums[mid]

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if (nums[mid] > target) {
                right = mid;
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }
}

2. 搜索插入位置

题目链接：35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

提示:

1. 1 <= nums.length <= 104

2. -104 <= nums[i] <= 104

3. nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组

4. -104 <= target <= 104

思路

在数组中插入目标值 target，只有这四种情况

• target 在数组所有元素之前

• target == 数组中某一个元素

• target 插入数组中位置

• target 在数组所有元素之后

写法一：暴力解法

这道题最为直接的暴力解法，遍历数组中每个元素，只要发现遍历到某个元素 >= target 时直接返回下标，如果遍历完 target 是最大的那就返回 nums.length 直接插入到最后

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if(target <= nums[i]) {
                return i;
            }
        }
        return nums.length;
    }
}

• 时间复杂度 O(n)

• 空间复杂度 O(1)

写法二：二分法

使用二分法前提，数组有序，并且无重复元素

确定边界 [left , right]

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(nums[mid] == target) {
                return mid;
            } else if(nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        // 分析四种上面四种插入的情况
        // target 在数组所有元素之前 0
        // target == 数组某个元素  mid
        // target 插入到数组中某个位置 right + 1 
        // target 在数组所有元素之后 right + 1
        return right + 1;
    }
}

• 时间复杂度 O(log n)

• 空间复杂度 O(1)

3. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

1. 0 <= nums.length <= 105

2. -109 <= nums[i] <= 109

3. nums 是一个非递减数组

4. -109 <= target <= 109

思路：

寻找 target 在数组中的左右边界，有这三种情况：

1. target 在数组范围的右边或左边，比如数组 {3,4,5}，target = 2 或 target = 6，此时应该返回 {-1，-1}

2. target 在数组范围中，且数组中不存在 target，比如数组 {3,4,7}，target = 6，此时应该返回 {-1，-1}

3. target 在数组范围中，且数组中存在 target，比如数组 {3,4,5}，target = 4，此时应该返回 {1, 1}

下面就是找左右边界了，采用二分法寻找左右边界

写法一：二分法

二分查找，寻找 target 的右边界（不包括 target）

如果 rightBorder 为没有被赋值（即 target 在数组范围的左边，比如 数组 {3,3}，target = 2，为了处理这种情况）

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int leftBorder = getLeftBorder(nums, target);
        int rightBorder = getRightBorder(nums, target);

        // 情况一
        if (leftBorder == -2 || rightBorder == -2) {
            return new int[]{-1, -1};
        } 
        // 情况三
        if (rightBorder - leftBorder > 1) {
            return new int[]{leftBorder+1, rightBorder-1};
        }
        // 情况二
        return new int[]{-1, -1};
    }

    private int getLeftBorder(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        int leftBorder = -2;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if (target <= nums[mid]) {
                // 找左边界，nums[mid]==target 时更新 right
                right = mid - 1;
                leftBorder = right;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return leftBorder;
    }

    private int getRightBorder(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        int rightBorder = -2;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if (target >= nums[mid]) {
                //找右边界，nums[mid]==target 时更新 left
                left = mid + 1;
                rightBorder = left;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return rightBorder;
    }
}

写法二：二分法+双指针（推荐）

1. 在 nums 数组中二分查找 target

2. 如果二分查找失败，则 binarySearch 返回 -1，表名 nums 中没有 target，此时直接返回 {-1，-1}

3. 如果二分查找成功，则 binarySearch 返回 nums 中值为 target 的一个下标，通过左右滑动指针，来找到符合题意的区间

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int index = binarySearch(nums, target);
        if(index == -1) {
            return new int[]{-1,-1};
        }    
        int left = index, right = index;
        while(left - 1 >= 0 && nums[left - 1] == target) {
            left--;
        }
        while(right + 1 <= nums.length - 1 && nums[right + 1] == target) {
            right++;
        }
        return new int[]{left,right};
    }

    private int binarySearch(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(target == nums[mid]) {
                return mid;
            } else if(target < nums[mid]) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

---

4. x 的平方根

题目链接：69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

0 <= x <= 231 - 1

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        long left = 0,right = x,ans = -1;
        while(left <= right) {
            long mid = left + (right - left)/2;
            if((long)(mid*mid) <= x) {
                ans = mid;
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return (int)ans;
    }
}

5. 有效的完全平方数

题目链接：367. 有效的完全平方数 - 力扣（LeetCode）

给你一个正整数 num 。如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。

完全平方数 是一个可以写成某个整数的平方的整数。换句话说，它可以写成某个整数和自身的乘积。

不能使用任何内置的库函数，如 sqrt 。

示例 1：

输入：num = 16
输出：true
解释：返回 true ，因为 4 * 4 = 16 且 4 是一个整数。

示例 2：

输入：num = 14
输出：false
解释：返回 false ，因为 3.742 * 3.742 = 14 但 3.742 不是一个整数。

提示：

1 <= num <= 231 - 1

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        int left = 0, right = num;
        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            long square = (long)mid*mid;
            if(square > num) {
                right = mid - 1;
            } else if(square < num) {
               left = mid + 1;
            } else {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}