代码随想录算法训练营第四十三天 | 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474. 一和零

打卡第43天，01背包应用。

今日任务

• 1049.最后一块石头的重量 II
• 494.目标和
• 474.一和零

1049. 最后一块石头的重量 II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

代码随想录

题目求石头 最小的可能重量 ，就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

求全部石头的一半重量的最大价值（这里的价值跟重量一样），本意是分成两堆大小尽可能的石头，所以递推公式：$dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);$ 当前这个石头取或不取 求最大价值。

二维数组dp

利用滚动数组：递推公式 $dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);$

class Solution {
    
    
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
    
    
        int sum = 0;
        for(int stone : stones) sum += stone;
        int target = sum / 2;

        vector<int> dp(target + 1, 0);
        for(int i = stones[0]; i <= target; i++) dp[i] = stones[0];  //初始化

        for(int i = 1; i < stones.size(); i++) {
    
    
            for(int j = target; j >= stones[i]; j--) {
    
    
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]); // 递推公式
            }
        }

        return sum - 2 * dp[target];
    }
};

494. 目标和

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

我的题解

用回溯做了一下

class Solution {
    
    
public:
    int cnt = 0;
    void backtracking(vector<int>& nums, int size, int target) {
    
    
        if(size >= nums.size()) {
    
    
            if(target == 0) cnt++;
            return ;
        }
        
        target -= nums[size];
        size++;
        backtracking(nums, size, target);
        size--;
        target += nums[size];

        target += nums[size];
        size++;
        backtracking(nums, size, target);
        size--;
        target -= nums[size];
        
    }
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
    
    
        backtracking(nums, 0, target);
        return cnt;
    }
};

代码随想录

动态规划：（目标值 + 和）/ 2 = 公式全部正数dpNum，用这个公式求出正数，然后动态规划，找出是否有整数和等于dpNum。

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。
2. 递推公式
   只要搞到nums[i]），凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包
$dp[j]+=dp[j-nums[i]$
3. 初始化
dp[0] = 1; dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
4. 确定遍历顺序
nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
5. 举例推导dp数组

class Solution {
    
    
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
    
    
        // 分两半 一半正数，一半负数 正数 + 负数 = 目标值  和 = 正数 - 负数 目标值 + 和 = 2 * 正数
        int sum = 0;
        for(int num : nums) sum += num;
        if((sum + target) % 2 == 1 || abs(target) > sum) return 0;
        int dpNum = (sum + target) / 2;

        vector<int> dp(dpNum + 1, 0);
        dp[0] = 1;

        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    
    
            for(int j = dpNum; j >= nums[i]; j--) {
    
    
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
                // printf("%d ", dp[j]);
            }
            // printf("\n");
        }

        return dp[dpNum];
    }
};

474. 一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

• 1 <= strs.length <= 600
• 1 <= strs[i].length <= 100
• strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
• 1 <= m, n <= 100

代码随想录

1. 确定dp数组以及下标的定义
   dp[i][j]：最多有i个0和j个1的str的最大子集的大小dp[i][j]。

2. 递推公式
   dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

   dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

   然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

   所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

   此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

3. 初始化
   因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 遍历顺序
   for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

5. 举例
   

class Solution {
    
    
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
    
    
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) {
    
     // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
    
    
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
    
     // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
    
    
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};