09习题2.6 递归求简单交错幂级数的部分和（函数题）【PTA浙大版《数据结构（第2版）》题目集】

09习题2.6 递归求简单交错幂级数的部分和（函数题）【PTA浙大版《数据结构（第2版）》题目集】

1.原题链接

习题2.6 递归求简单交错幂级数的部分和 (pintia.cn)

2.题目描述

习题2.6 递归求简单交错幂级数的部分和

本题要求实现一个函数，计算下列简单交错幂级数的部分和：

$ f(x, n) = x - x^2 + x^3 - x^4 + \cdots + (-1)^{n-1}xn $

函数接口定义：

double fn( double x, int n );

其中题目保证传入的n是正整数，并且输入输出都在双精度范围内。函数fn应返回上述级数的部分和。建议尝试用递归实现。

裁判测试程序样例：

#include <stdio.h>

double fn( double x, int n );

int main()
{
    
    
    double x;
    int n;
    
    scanf("%lf %d", &x, &n);
    printf("%.2f\n", fn(x,n));
    
    return 0;
}

/* 你的代码将被嵌在这里 */

输入样例：

0.5 12

输出样例：

0.33

3.参考答案

本题主要复习C语言中已经学过的递归。

double fn( double x, int n ){
    
    
    if(n == 1 )return x ;
    else return x*(1 - fn(x,n-1)) ;
}

4.解题思路

本题用循环很容易计算出结果，但本题要求用递归来计算。

• 当n==1时，$ f(x, 1) = x $，这是表达式最基本的情况，可以用来作为递归的终止条件。

• 当n==2时，$ f(x, 2) = x - x^2 $，此时在‘n==1‘的基础上增加了后面的$- x^2$，如果这样考虑就成了循环计算的解法，递归的解法通常是对算式整体改变，让后续计算采用相同的策略。要把算式从 $ f(x, 1) = x $ 变为 $f(x,2)=x-x^2=x(1-x)$，这里可以有两种计算方式：

  • 第一种方式：看作在 $f(x,1)$ 的基础上乘以了 $(1-x)$ ；

  • 第二种方式：看作 $f(x,1)$ 取负值得到 $-x$，再加以得到$1-x$，然后再乘以$x$，得到$x(1-x)$。

  至于哪种方式可以让更大的n采用相同的运算方式，可以先递推到下一步寻找规律。

• 当n==2时，$ f(x, 3) = x - x^2+ x^3$，要让$f(x, 2)$变为$ f(x, 3)$，乘以 $(1-x)$ 是不行的，所以应该采用上述第二种计算方式 $ f(x, 3)=x(1 - fn(x,2))$。

• 那么得到n>1时的递归关系式：f(x,n) = x*(1 - fn(x,n-1))。

5.答案详解

//计算简单交错幂级数的部分和,x是项的底数，n是项的指数，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负
double fn( double x, int n ){
    
    
    if(n == 1 )return x ;		   //递归的终止调件
    else return x*(1 - fn(x,n-1)) ; //n>1时的递归关系
}