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搜索旋转排序数组
假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。
( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。
搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。
你可以假设数组中不存在重复的元素。
你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。
示例 1:
输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出: 4
示例 2:
输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出: -1
方法一 二分查询最大最小值
思路
先算出 数组中最大最小值，利用 indexOf 计算之后要旋转位置，然后二分计算目标 target 位置
详解
- 计算数组中的最大最小值
- 定义变量，数组长度等
- 目标值大于数组最后一位时，数组查询位置从 0 到数字中在最大位置
- 目标值小于等于数组最后一位时，数组查询位置从数组中最小值的位置开始，到数组的最后一位，3.4 两部为了定位数组查询区间
- 循环二分查询，计算定位数组的中间值，数组的值等于目标查询结束
- 不等于的情况，如果目标大于中间值，则定位数组最小值等于中间值+1，目标小于中间值，则定位数组中最大值等于中间值-1，继续循环查询即可，知道定位数组查询完毕，没有结果的话，返回 -1 代表不存在
代码
const search = function (nums, target) {
const min = Math.min.apply(null, nums);
const max = Math.max.apply(null, nums);
const len = nums.length;
let pos;
let lo;
let hi;
let mid;
if (target > nums[len - 1]) {
pos = nums.indexOf(max);
lo = 0;
hi = pos;
} else {
pos = nums.indexOf(min);
lo = pos;
hi = len - 1;
}
while (lo <= hi) {
mid = Math.ceil((lo + hi) / 2);
if (nums[mid] === target) return mid;
if (nums[mid] < target) {
lo = mid + 1;
} else {
hi = mid - 1;
}
}
return -1;
};
复杂度分析：
-
时间复杂度：O(log(n))O(log(n))
过程会最多遍历一遍数组
-
空间复杂度：O(1)O(1)
只产生一次临时变量存储
方法二 二分查询中间数
思路
根据数组的中间数和左右节点的大小对比，来确定升序部分的位置，然后用二分法查询目标节点在数组中的位置
详解
- 计算数组长度，数组为0 直接返回-1
- 定义左右值分别为数组第一个和最后一个的下标
- 中间下标值为最大最小值的平均数
- 如果数组中间数等于目标直接返回下标
- 数组的中间值小于数组最后一个值，后半部分还处于升序，如果目标值在这部分数组中，则左下标等于中间值+1，代表目标值在后半部分数组，反着重新定义右下标为中间值-1，目标在前半数组
- 数组中间值大于数组最后一个值，代表前半部分数组处于升序，如果目标在前半数组中，右标更新为中间值-1，反之，左下标更新为中间值+1
- 二分查询到最后没找到目标值，则返回 -1 代表不存在
代码
const search = function(nums, target) {
if(nums.length === 0){
return -1;
}
let left = 0;
let right = nums.length - 1;
let mid;
while(left <= right){
mid = parseInt((left + right) / 2);
if(nums[mid] === target){
return mid;
} else if(nums[mid] < nums[right]) {
if(nums[mid] < target && target <= nums[right]) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
} else {
if(nums[left] <= target && target < nums[mid]){
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
}
}
return -1;
};
复杂度分析
-
时间复杂度：O(log(n))O(log(n))
过程会最多遍历一遍数组
-
空间复杂度：O(1)O(1)
只产生一次临时变量存储
在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置、数组中的第K个最大元素和颜色分类
在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。
如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。
示例
输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: [3,4]
输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: [-1,-1]
方法一 二分查找
思路
由于数组已经时升序排列，可直接根据二分查找，往左定位第一个位置，往右定位最后一个位置 二分查找的实现上可以使用循环或者递归。
详解
- 根据二分查找，找到左边第一个不小于目标值的位置
- 从上一步中的位置开始到最后，二分查找，确定右边最后一个符合条件值的位置
- 得到结果
function getBinarySearchLowerBound (array, low, high, target) {
// 找到第一个不小于目标值的位置
while (low < high) {
const mid = Math.floor((low + high) / 2);
if (array[mid] < target) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid;
}
}
// 如果相等，则匹配，否则不匹配
return array[low] === target ? low : -1;
}
function getBinarySearchUpperBound (array, low, high, target) {
// 找到第一个不大于目标值的位置
while (low < high) {
const mid = Math.ceil((low + high) / 2);
if (array[mid] > target) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid;
}
}
// 如果相等，则匹配，否则不匹配
return array[high] === target ? high : -1;
}
const searchRange = function (nums, target) {
const size = nums.length;
const low = getBinarySearchLowerBound(nums, 0, size - 1, target);
if (low === -1) {
return [-1, -1];
}
// 从左边数字的位置开始
const high = getBinarySearchUpperBound(nums, low >= 0 ? low : 0, size - 1, target);
return [low, high];
};
复杂度分析
-
时间复杂度：O(log(n))O(log(n))
过程中最差情况会遍历二遍数组
-
空间复杂度：O(1)O(1)
产生三个临时变量存储
数组中的第K个最大元素
在未排序的数组中找到第 k 个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。
示例1：
输入: [3,2,1,5,6,4] 和 k = 2
输出: 5
示例2：
输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6] 和 k = 4
输出: 4
说明：你可以假设 k 总是有效的，且 1 ≤ k ≤ 数组的长度。
方法一
思路
首先通过快速排序的方法将数组升序排序，此时数组的头部为最小的元素，尾部为数组最大的元素。题目要求找到数组中的第 K 个最大的元素，即返回 length - k 个元素即可。
详解
- 本方法采用快速排序法；
- 首先通过
arr[Math.floor((start + end) / 2)]找到数组中间的元素作为主元； - 然后使用双指针，分别从数组的头部和尾部遍历数组；
- 遍历过程中，把比主元小的数都放到主元的左边，比主元大的数都放到主元的右边，实现数组的升序排序；
- 返回第 length - k 个元素，即为数组中第 k 个最大的元素。
1
const findKthLargest = function (nums, k) {
return findK(nums, 0, nums.length - 1, nums.length - k);
};
function findK (arr, start, end, k) {
if (start === end) return arr[start];
// 主元
const pivot = arr[Math.floor((start + end) / 2)];
let i = start; let j = end;
while (i <= j) {
while (arr[i] < pivot) i++;
while (arr[j] > pivot) j--;
if (i <= j) {
swap(arr, i, j);
i++;
j--;
}
}
// 二分查到k位置
if (k >= (i - start)) {
return findK(arr, i, end, k - i + start);
} else {
return findK(arr, start, i - 1, k);
}
}
// 元素交换
function swap (arr, i, j) {
const temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
复杂度分析
- 时间复杂度： O(n log n)O(nlogn)
上述解法中，采用了快速排序的方法，快排的时间复杂度 O(n log n)O(nlogn)。
- 空间复杂度： O(1)O(1)
上述解法中，申请了四个额外的临时存储空间，这将耗费 O(1)O(1) 的空间。
方法二
思路
首先通过最小堆排序的方法将数组升序排序，排序完的数组如下图所示：
此时数组的头部为最小的元素，尾部为数组最大的元素。题目要求找到数组中的第 K 个最大的元素，即返回 length - k 个元素即可。
详解
- 本方法采用最小堆排序法；
- 首先建立最小堆，将每个叶子结点视为一个堆，再将每个叶子结点与其父节点一起构成一个包含更多结点的堆；
- 所以在构造堆的时候，首先需要找到最后一个结点的父节点，从这个节点开始构造最小堆，直到该节点前面的所有分支节点都处理完毕；
- 然后返回第 length - k 个，即为数组中第 k 个最大的元素。
const findKthLargest = function (nums, k) {
const size = nums.length;
// 建立堆
for (let i = parseInt(size / 2) + 1; i >= 0; i--) {
heapify(nums, i, size);
}
// 排序
for (let j = size - 1; j >= size - k; j--) {
// 得到本次的最大，将最大的与最后一个交换位子
swap(nums, 0, j);
heapify(nums, 0, j);
}
return nums[size - k];
};
function heapify (arr, x, length) {
// 左右两个子节点
const l = 2 * x + 1;
const r = 2 * x + 2;
let largest = x;
if (l < length && arr[l] > arr[largest]) {
largest = l;
}
if (r < length && arr[r] > arr[largest]) {
largest = r;
}
if (largest !== x) {
swap(arr, x, largest);
// 递归交换以下的是否也建好堆.
heapify(arr, largest, length);
}
}
function swap (arr, i, j) {
const temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
复杂度分析
- 时间复杂度： O(n log n)O(nlogn)
上述解法中，采用了堆排序的方法，堆排序的时间复杂度 O(n log n)O(nlogn)。
- 空间复杂度： O(1)O(1)
上述解法中，申请了四个额外的临时存储空间，这将耗费 O(1)O(1) 的空间。
方法三
思路
首先通过冒泡排序的方法将数组升序排序，此时数组的头部为最小的元素，尾部为数组最大的元素。题目要求找到数组中的第 K 个最大的元素，即返回 length - k 个元素即可。
详解
- 本方法采用经典冒泡排序法；
- 比较相邻的元素，如果第一个比第二个大，就交换他们两个；
- 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对；
- 完成步骤 3 后，最后的元素会是最大的数，实现升序排序；
- 返回第 len-k 个元素，即为数组中第 k 个最大的元素。
const findKthLargest = function (nums, k) {
const len = nums.length;
for (let i = len - 1; i > 0; i--) {
// 冒泡排序
for (let j = 1; j <= i; j++) {
// 异或交换，详见题外话解析
if (nums[j - 1] > nums[j]) {
nums[j - 1] ^= nums[j];
nums[j] ^= nums[j - 1];
nums[j - 1] ^= nums[j];
}
}
if (i === (len - k)) {
return nums[i];
}
}
return nums[0];
};
复杂度分析
- 时间复杂度： O(n^2)O(n2)
上述解法中，内外两层循环，时间复杂度 O(n^2)O(n2)。
- 空间复杂度： O(1)O(1)
上述解法中，最优的情况是开始时元素已经按顺序排好，空间复杂度为 0 ，最差的情况是开始时元素逆序排序，此时空间复杂度 O(n)O(n)，平均空间复杂度 O(1)O(1)。
复杂度分析：
- 时间复杂度： O(n^2)O(n2)，内外两层循环，时间复杂度 O(n^2)O(n2)
- 空间复杂度： O(1)O(1)，最优的情况是开始时元素已经按顺序排好，空间复杂度为0，最差的情况是开始时元素逆序排序，此时空间复杂度 O(n)O(n)，平均空间复杂度 O(1)O(1)
题外话
对于给定两个整数a,b，下面的异或运算可以实现a,b的交换，而无需借助第3个临时变量：
a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;
这个交换两个变量而无需借助第3个临时变量过程，其实现主要是基于异或运算的如下性质：
- 任意一个变量X与其自身进行异或运算，结果为0，即X ^ X=0
- 任意一个变量X与0进行异或运算，结果不变，即X ^ 0=X
- 异或运算具有可结合性，即a ^ b ^ c =（a ^ b）^ c= a ^（ b ^ c）
- 异或运算具有可交换性，即a ^ b = b ^ a
分析：
第一步： a = a ^ b;
完成后 a变量的结果为a ^ b
第二步： b = a ^ b;
此时赋值号右边的 a 保存的是 a ^ b 的值，那么将赋值号右边的 a 用 a ^ b 替换，
得到（a ^ b） ^ b = a ^ (b ^ b)=a ^ 0=a,
即经过第二步运算后 b 中的值为 a ，即 b=a ，将 a 换到了 b 里
第三步： a = a ^ b;
此时赋值号右边的 a 保存的仍然是 a ^ b 的值，不变，而赋值号右边的 b 已经是 a 了，
将赋值号右边的 a,b 分别进行替换，
即此时赋值号右边 a ^ b=（a ^ b）^ a=a ^ b^ a=a ^ a^ b=0^ b=b, 该值赋值给 a ,即 a=b
即经过第三步运算后 a 中的值为 b ，即 a=b, 将 b 换到了 a 里
这样经过如上的三步骤，完成了交换两个变量 a,b 而无需借助第 3 个临时变量过程。
颜色分类
给定一个包含红色、白色和蓝色，一共 n 个元素的数组，原地对它们进行排序，使得相同颜色的元素相邻，并按照红色、白色、蓝色顺序排列。
此题中，我们使用整数 0、 1 和 2 分别表示红色、白色和蓝色。
注意: 不能使用代码库中的排序函数来解决这道题。
示例
输入: [2,0,2,1,1,0]
输出: [0,0,1,1,2,2]
方法一 直接计算
思路
直接遍历整个数组，分别计算出红蓝白球的个数，然后按照红色、白色、蓝色顺序依次存入数组。
详解
- 设定三个变量 red, white，blue 分别表示红球、白球和蓝球。
- 遍历数组，遇到 0 则使 red 自增1，遇到 1 则使 white 自增1，遇到 2 则使 blue 自增1。
- 根据红白蓝的个数，依次将 0，1，2 存入数组。
/**
* @param {number[]} nums
* @return {void} Do not return anything, modify nums in-place instead.
*/
const sortColors = function (nums) {
let red = 0;
let blue = 0;
let white = 0;
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
if (nums[i] === 0) {
red++;
} else if (nums[i] === 1) {
blue++;
} else if (nums[i] === 2) {
white++;
}
}
let index = 0;
for (let i = 0; i < red; i++) {
nums[index++] = 0;
}
for (let i = 0; i < blue; i++) {
nums[index++] = 1;
}
for (let i = 0; i < white; i++) {
nums[index++] = 2;
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度： O(n)O(n)
- 空间复杂度： O(n)O(n)
方法二 双指针遍历
思路
设定三个指针 begin, end, i，用 i 遍历数组，遇到 0，1 时分别将值与 begin, end 指向的值交换。这种方法相对于方法一的好处是只使用了一个常数空间。
详解
- 设定一头一尾两个指针 begin 和 end，然后用一个指针 i 从头开始遍历数组。
- 如果遇到 0，则将该数值与begin指向的值交换，并且使begin向后移一位。
- 如果遇到 2，则将该数值与end指向的值交换，并且使end向前移一位，并且此时不需自加 i。
- 如果遇到 1，则继续。
- 最终得到新数组。
/**
* @param {number[]} nums
* @return {void} Do not return anything, modify nums in-place instead.
*/
const sortColors = function (nums) {
let begin = 0;
let end = nums.length - 1;
let i = 0;
while (i <= end) {
if (nums[i] === 0) {
nums[i] = nums[begin];
nums[begin] = 0;
i++;
begin++;
} else if (nums[i] === 2) {
nums[i] = nums[end];
nums[end] = 2;
end--;
} else {
i++;
}
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)O(n)
- 空间复杂度：O(1)O(1)
方法三 使用各种排序法
思路
本题的实质是将数字从小到大排序，可以使用各种排序法（冒泡排序法，选择排序法，快速排序法等），这里举一个冒泡排序法的例子。
1
/**
* @param {number[]} nums
* @return {void} Do not return anything, modify nums in-place instead.
*/
const sortColors = function (nums) {
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
for (let j = 0; j < nums.length - i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
const tem = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tem;
}
}
}
};
复杂度分析
-
时间复杂度：O(n^2)O(n2)
遍历了两次含n个元素的空间
-
空间复杂度：O(1)O(1)
排序过程没有用到新的空间存储数据