【题目链接】
ybt 1923：【03NOIP普及组】数字游戏
洛谷 P1043 [NOIP2003 普及组] 数字游戏
【题目考点】
1. 区间动规
【解题思路】
首先做“破环为链”，将有n个元素的环形序列变为有2n-1个元素的线性序列。记第i个元素值为a[i]。
求出前缀和数组s，然后求出v数组，v[i][j]表示第i到第j元素加和后对10取模的值。
以下给出求最大乘积的方法，求最小乘积与该方法类似。
1. 状态定义
- 集合：将n个数分成m个部分的方案
- 限制：将第i到第j个数分成k部分
- 属性：每个部分对10取模后的乘积
- 条件：最大
- 统计量：乘积
状态定义：dp[i][j][k]：将第i到第j个数分成k部分的所有方案中，每个部分对10取模后的乘积值最大的那个方案的乘积的值。
初始状态：如果k为1，那么将第i到第j个数分成1部分，乘积值为v[i][j]，即dp[i][j][1] = v[i][j]
2. 状态转移方程
集合：将第i到第j个数分成k部分的方案
分割集合：第k部分左端点为分割点，枚举分割点
- 如果第k部分左端点为j，那么第k部分为
a[j]，k个部分乘积的最大值，为将i~j-1分为k-1个部分乘积的最大值dp[i][j-1][k-1]乘以第k部分的值v[j][j]，即dp[i][j][k] = dp[i][j-1][k-1]*v[j][j] - 如果第k部分左端点为j-1，那么第k部分为
a[j-1]~a[j]，k个部分乘积的最大值，为将i~j-2分为k-1个部分乘积的最大值dp[i][j-2][k-1]乘以第k部分的值v[j-1][j]，即dp[i][j][k] = dp[i][j-2][k-1]*v[j-1][j]
… - 如果第k部分左端点为i+k-1，那么第k部分为
a[i+k-1]~a[j]，k个部分乘积的最大值，为将i~i+k-2分为k-1个部分(每个部分有1个数字）乘积的最大值dp[i][i+k-2][k-1]乘以第k部分的值v[i+k-1][j]，即dp[i][j][k] = dp[i][i+k-2][k-1]*v[i+k-1][j] - 综上，设第k部分的左端点为h，h从i+k-1循环到j，每次取到的第i到第j数字分为k个部分乘积的最大值为
dp[i][j][k] = dp[i][h-1][k-1]*v[h][j]，以上各种情况取最大值。如要求最小乘积，则在以上各情况中取最小值。
3. 具体实现
为最大值与最小值分别设一个状态数组。
注意求v[i][j]时，左端i可以超过n的，要判断右端j小于2n。求dp数组时，左端i最多就是n，i大于n的情况无意义。
该题要使用区间动规的写法，先枚举区间长度从1到n，然后确定左端点i，再确定右端点j。
在递推求出状态后，需要遍历长为n的所有区间，比较将长为n的区间分为m部分的乘积，求出两状态数组中的最大值和最小值。
【题解代码】
解法1：区间动规
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
#define INF 0x3f3f3f3f
int m, n, a[N], s[N], v[N][N];//a[i]:第i元素 s:前缀和 v[i][j]:a[i]~a[j]加和对10取模的值
int dpx[N][N][10], dpn[N][N][10];//dpx[i][j][k]:将第i到第j个数分成k部分的所有方案中，每个部分对10取模后的乘积值最大的那个方案的乘积的值。 dpn:乘积最小值
int Mod10(int a)//正数或负数a模10得到非负数
{
if(a >= 0)
return a % 10;
else
return a % 10 + 10;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
cin >> a[i];
a[i+n] = a[i];//变环为链
}
for(int i = 1; i < 2*n; ++i)
s[i] = s[i-1] + a[i];
for(int l = 1; l <= n; ++l)//区间长度
for(int i = 1; i+l-1 < 2*n; ++i)
{
int j = i+l-1;
v[i][j] = Mod10(s[j]-s[i-1]);
}
memset(dpn, 0x3f, sizeof(dpn));//求最小值的数组初值设为无穷大
for(int l = 1; l <= n; ++l)
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
int j = i+l-1;
dpx[i][j][1] = dpn[i][j][1] = v[i][j];//设初值
for(int k = 2; k <= m && k <= l; ++k)//i~j分成的部分数量不会大于元素数量l
for(int h = i+k-1; h <= j; ++h)
{
dpx[i][j][k] = max(dpx[i][j][k], dpx[i][h-1][k-1]*v[h][j]);
dpn[i][j][k] = min(dpn[i][j][k], dpn[i][h-1][k-1]*v[h][j]);
}
}
int mx = 0, mn = INF;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
int j = i+n-1;
mx = max(mx, dpx[i][j][m]);
mn = min(mn, dpn[i][j][m]);
}
cout << mn << endl << mx;
return 0;
}