第二门课：改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化（第一周）——深度学习的实用层面

1. 训练，验证，测试集

深度学习是一个典型的迭代过程，迭代的效率很关键，创建高质量的训练数据集，验证集和测试集有助于提高循环效率。

• 三者区别：
  训练集（train set） —— 用于模型拟合的数据样本。
  验证集（development set）—— 是模型训练过程中单独留出的样本集，用于调整模型的超参数以及对模型的能力进行初步评估。通常用来在模型迭代训练时，用以验证当前模型泛化能力（准确率，召回率等），以决定是否停止继续训练。
  测试集（test set） —— 用来评估模最终模型的泛化能力。但不能作为调参、选择特征等算法相关的选择的依据。

• 切分标准：
  小数据量时代，常见做法是三七分，70%验证集，30%测试集；也可以 60%训练，20%验证和20%测试集来划分。大数据时代，数据量可能是百万级别，验证集和测试集占总量的比例会趋于变得更小。

• 数据来源：
  最好要确保 验证集 和 测试集 的数据来自同一分布，因为要用验证集来评估不同的模型，如果验证集和测试集来自同一个分布就会表现很好。

2. 偏差，方差

关键数据：
训练集误差、验证集误差（基于人眼辨别错误率 ≈ 0情况下）

如果人眼辨别的错误率（贝叶斯误差，最优误差）非常高，比如15%。那么上面第二种分类器（训练误差15%，验证误差16%），15%的错误率对训练集来说也是非常合理的，偏差不高，方差也非常低。

解决方案：（TODO）
解决高方差：获得更多的训练样本；尝试减少特征的数量；尝试增加正则化程度$\lambda$。
解决高偏差：尝试获得更多的特征；尝试增加多项式特征；尝试减少正则化程度$\lambda$。

3. 机器学习基础

4. 正则化

正则化有助于防止过拟合，降低方差。

范数 (norm) 几种范数的简单介绍、对于L1和L2正则化的不同解释

• L1 范数: $\Vert X{\Vert }_1={\sum }_{i=1}^n\left|x_i\right|$ 表示非零元素的绝对值之和；

• L2 范数: $\Vert X{\Vert }_2=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}$ 表示元素的平方和再开方。

• 矩阵的L2范数叫做：弗罗贝尼乌斯范数，所有元素的平方和 $\Vert W{\Vert }_F^2$

加上正则化的损失函数：
$$\begin{array}{r}\mathrm{L}1正则化：J(\omega ，b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\mathcal{L}\left({\hat{y}}^{(i)}，y^{(i)}\right)+\frac{\lambda }{2m}\Vert \omega {\Vert }_1\\ \mathrm{L}2正则化：J(\omega ，b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\mathcal{L}\left({\hat{y}}^{(i)}，y^{(i)}\right)+\frac{\lambda }{2m}\Vert \omega {\Vert }_2^2\end{array}$$

L1正则化 & L2正则化的特征：

• L1 正则，权重 $\mathrm{w}$ 最终变得稀疏，多数变成 0；
• L2 正则，使得权重衰减。

对于在神经网络W矩阵中进行参数更新操作：$W^{[l]}:=\left(1-\frac{\alpha \lambda }{m}\right)\ast W^{[l]}-\alpha (\text{ 梯度 })$，权重不但减少了，还乘以了小于1的系数进行衰减。

5. 为什么正则化预防过拟合

$$J(\omega ，b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\mathcal{L}\left({\hat{y}}^{(i)}，y^{(i)}\right)+\frac{\lambda }{2m}\Vert \omega {\Vert }_2^2$$
当 $\lambda$ 设置的很大的时候，最终 $W$ 会变得很接近于 0，神经网络中的很多单元的作用变得很小，整个网络越来越接近逻辑回归。

λ 增大时，整个神经网络会计算离线性函数近的值，这个线性函数非常简单，不是复杂的高度非线性函数，不会发生过拟合。

L2 正则化是训练深度学习模型时最常用的一种方法。

6. dropout（随机失活）正则化

以上是一个样本的过程，其他样本也是同样的过程。

实施 dropout 举例: 最常用的方法——inverted dropout (反向随机失活)，用一个三层网络举例，注意：下面的a3和d3对应网络中所有的神经单元，实际实现过程中需要一层一层来实现。

• 定义向量 $d，d3$ 表示一个三层的 dropout 向量。它是一个概率矩阵，对应每个样本和每个隐藏单元。$d3=$ np. random. rand (a3. shape$[0]$ , a3. shape$[1])$。
  定义 keep-prob（表示保留某个隐藏单元的概率） ，概率为 1 - keep_prob 的元素对应为 0 ，概率为 keep_prob 的元素对应为 1 ；
• 获取激活函数 $a3$，$a3=\mathrm{n}\mathrm{p}.\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{y}(\mathrm{a}3,\mathrm{d}3)$，使得 $d3$ 中为 0 的元素把 $a3$ 对应元素归零；
• 向外扩展 $a3$，$a3$ /= keep_prob。

反向随机失活 (inverted dropout) 方法通过除以 keep-prob，确保 $a^{[3]}$ 的输出期望值不会被改变。原因如下：虽然dropout忽略了某些隐藏层神经元，例如系数是0.8，则保留80%的神经元，则神经元输出A整体期望也为原来的80%。但是inverted dropout的放缩操作，即对A除以80%。一缩一放过程，相当于输出期望没有改变。

7. 理解 dropout

• 其功能类似于 L2 正则化；
• 对于参数集多的层，可以使用较低的 keep-prob 值（不同的层，可以使用不同的值），缺点是：需要交叉验证更多的参数；

注意：

1. dropout 一大缺点就是：代价函数不再被明确定义，每次迭代，都会随机移除一些节点，想检查梯度下降的性能，实际上是很难进行复查的。

2. 在实际操作中，可以先关闭dropout，将keep-prob 设置为 1，确保 J 函数单调递减， 然后再尝试使用dropout。

8. 其他正则化

• 数据扩增，假如是图片数据，扩增数据代价高，我们可以：

水平翻转；随意剪裁旋转放大（这种方式扩增数据，进而正则化数据集，减少过拟合成本很低）

对于数字识别图片，我们可以进行旋转，扭曲来扩增数据集

• early stopping
  
    在验证集误差变坏的时候，提早停止训练

early stopping 缺点：不能同时处理 过拟合 和 代价函数不够小 的问题

• 提早停止，可能代价函数 J 不够小
• 不提早结束，可能会过拟合

如果不使用 early stopping ，使用 L2 正则化的话，这样训练时间可能很长，参数搜索空间大，计算代价很高。

early stopping 优点：只运行一次梯度下降，可以找出 w 的较小值，中间值，较大值，无需尝试 L2 正则化超参数$\lambda$的很多值。

9. 归一化输入

归一化输入，可以加速训练。它一般需要两个以下步骤：

• 零均值化（所有的数据减去均值)
• 归一化方差 (所有数据除以方差)

注意： $\mu ，{\sigma }^2$ 是由训练集得到，然后用于其他所有数据集。

10. 梯度消失 / 梯度爆炸

在非常深的神经网络中，权重只要不等于 1，激活函数将会呈指数级递增或者递减，导致训练难度上升，尤其是梯度与 L 相差指数级，梯度下降算法的步长会非常非常小，学习时间很长。

11. 神经网络权重初始化

上面讲到了梯度消失/爆炸，如何缓解这个问题？

为了预防 $z$ 的值 过大或过小，$n$ 越大时，你希望 $w_i$ 越小，因为$z$是$w_i$$x_i$的和，合理的方法是 $w_i=1/n，\mathrm{n}$ 是输入特征数量。$w^{[l]}=np$.random.randn $($ shape $)\ast np.\mathrm{sqrt}\left(\frac{1}{n^{[l-1]}}\right)，n^{[l-1]}$ 是给第 $l$ 层输入的特征数量。

• 如果使用 ReLu激活函数 (最常用)，则 $\ast np.sqrt\left(\frac{2}{n^{[l-1]}}\right)$，称为Xavier初始化
• 如果使用 tanh 激活函数，则 $\ast \sqrt{\frac{1}{n^{[l-1]}}}$，或者 $\ast \sqrt{\frac{2}{n^{[l-1]}+n^{[l]}}}$

这样设置的权重矩阵既不会增长过快，也不会太快下降到 0，从而训练出一个权重或梯度不会增长或消失过快的深度网络，这也是一个加快训练速度的技巧

12. 梯度的数值逼近

在反向传播时，有个测试叫做梯度检验。即计算误差时，我们需要使用双边误差，不使用单边误差，因为前者更准确。
$$f^{\prime }(\theta )=\frac{f(\theta +\epsilon )-f(\theta -\epsilon )}{2\epsilon }$$

13. 梯度检验

梯度检验帮助我们发现反向传播中的 bug。

将所有$W$矩阵转换成向量之后，做连接运算，得到一个巨型向量$\theta$，该向量表示为参数$\theta$，代价函数$J$是所有$W$和$b$的函数，现在你得到了一个$\theta$的代价函数$J$（即$J(\theta )$）。

接着，同样可以把$d{W}^{[1]}$和$d{b}^{[1]}$……$d{W}^{[l]}$和$d{b}^{[l]}$转换成一个新的向量，用它们来初始化大向量$d\theta$，并且它与$\theta$具有相同维度。

14. 梯度检验的注意事项

1. 不要在训练中使用梯度检验，它只用于调试；
2. 如果算法的梯度检验失败，要检查所有项，检查每一项，并试着找出bug；
3. 如果使用了正则化，计算梯度的时候也要包括正则项；
4. 梯度检验不能与dropout 同时使用，可以关闭dropout，进行梯度检验，检验正确了，再打开dropout。