递归求Fibonacci数列的时间复杂度到底是多少?

Ox00 结论

个人认为，严格意义上的时间复杂度应为：

$O((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n)$

0x01 引言

最近学习数据结构，书中将递归实现的Fibonacci数列的时间复杂度一笔带过，称Fibonacci数列的时间复杂度为O(2^n)，在网上查了查O(2^n)的由来。但在知乎上又看到有人将Fibonacci数列的时间复杂度算出来是 $O((\frac{1+\sqrt5}{2})^n)$ 。这里进行讨论。个人想法，有问题希望大家多多包含，并指出问题所在。

0x02 递归代码

- C代码

#include <stdio.h>

long fib(int n)
{
    if(n==0 || n==1)
        return 1;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}


int main()
{
    int i;
    for(i=0; i<10; i++)
    {
        printf("%d\n", fib(i));
    }
    return 0;
}
复制代码

- 运行

0x03 时间复杂度

- 说法一 $O(2^n)$

Fibonacci数列递归实现的时间复杂度.png

如上图，要想得到 fib(6) 需要先计算 fib(5) 和 fib(4) ; 想要的到 fib(5)需要先计算 fib(4) 和 fib(3) ；以此类推。将红色框内的 fib(2) 和 fib(1) 移动到上一次最右侧，则上一层共 $2^3 = 2^{n-3} = 8$ 。这样作为计算，很容易得到时间复杂度为 $O(2^n)$ 。

- 说法二 $O((\frac{1+\sqrt5}{2})^n)$

Fibonacci数列递归实现的时间复杂度-第 2 页.png

fib(1) 和 fib(2) 的个数并不能直接用 $2^{n-2}$ 进行粗略的计算。记 fib(6) 为第1层，则fib(1) 为第6层，fib(2) 为第5层。显然，fib(1) 和 fib(3) 的个数是相同的。所以 fib(1) 和 fib(2) 的总个数为 fib(4)+fib(5)=3+5=8 。而又 fib(4)+fib(5)=fib(6)=fib(n) ，所以 fib(1) 和 fib(2) 的总个数为fib(n) 。根据斐波那契数列的通项公式得出:

$fib(n)=\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n)$ 通过求同阶方程，最终得出时间复杂度为 $O((\frac{1+\sqrt5}{2})^n)$ 。

- 分析（求解）

f(n)

fib(n) 的语句频度等于递归过程中fib(1)和fib(2)总的执行次数。

所以，求解递归算法的时间复杂度相当于递归方程求解。

对于斐波那契数列

当n>=2时 有 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

当n=0或n=1 有 f(n)=1

递归方程求解，也就是求斐波那契数列的通项公式。

$f(n)=\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n)$
"O"

求与Fn同阶的函数。算法中同阶指的是，当 n->∞ 时，两个函数之比的结果是一个非0的常数，则称这两个函数是同阶的。
- 如果时间复杂度是 $O(2^n)$ 。相比求极限，结果为0
- 如果时间复杂度是 $O((\frac{1+\sqrt5}{2})^n)$ 。相比求极限，结果为 $\frac{1}{\sqrt5}$
ret: 斐波那契数列的通向公式函数与 $(\frac{1+\sqrt5}{2})^n$ 是同阶的。

- 另一种思路

设fib(n)的执行时间为T(n)，则 fib(n-1) 的执行时间为 T(n-1)，fib(n-2) 的执行时间为 T(n-2)。语句 if(n==0 || n==1) return 1; 的执行时间为O(1)。if 判断语句相对于 return 语句的时间可以忽略。

所以 $T(n)=T(n-1)+T(n-2)$ 。

当n=1或n=2时，fib函数执行return 1，执行时间为 $O(1)$ 。

综上：

T(n)=\left\{ \begin{array}{} T(n-1)+T(n-2) & , n>2 \\ 1 & , n=1 或 n=2 \\ \end{array} \right.

递归方程求解，得出fib(n)执行时间为:

$T(n)=\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n)$

当n->∞再化简，可以得到时间复杂度为 $O((\frac{1+\sqrt5}{2})^n)$ 。

0x04 个人想法

T(n) = O(f(n))

其中数学符号“O”的严格定义为：

若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0，使得当n>=n0时都满足0<=T(n)<=Cf(n)。

所以，从严格意义上来讲， $O((\frac{1+\sqrt5}{2})^n)$ 也是不对的。 $f(n)=\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n)$

其中 $(\frac{1-\sqrt5}{2})^n$ 的正负与n的奇偶相关，所以f(n)是波动的，不可能存在C，使得当n>=n0时都满足0<=T(n)<=Cf(n)。

综上，严格意义上，时间复杂度应为：

$O((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n)$

0x05 总结

通过分析（非严格意义上），斐波那契数列递归形式的时间复杂度更应该为 $O((\frac{1+\sqrt5}{2})^n)$ 。

那 $O(2^n)$ 又是怎么回事？

首先，前面举例的 fib(6) 通过 $2^{(6-3)}$ 算出来的结果和通过 $fib(5)+fib(4)$ 算出来的结果相同，纯属偶合。当n不为6时，显然是不相同的，方程都不同。
两个时间复杂度的共同点是，都是指数阶。因为 $O(2^n)$ 是指数阶的代表，所以使用 $O(2^n)$ 作为递归求解斐波那契数列的时间复杂度，也可能只是想表明它是指数阶。
一般指数阶的算法根本不考虑使用，所以知道这是个指数阶的时间复杂就ok了，研究它的时间复杂度具体是什么也是没有必要的。并且(渐进)时间复杂度本来就不是机器执行算法的真实时间。

两个时间复杂度的函数图像