Jordan标准型的由来?为何n阶数字方阵都必有对应的Jordan标准型?怎么求可逆矩阵P?

设A为复数域上的n阶方阵，即A∈C^n×n，A为：

A的特征矩阵λⅠ-A为：

设矩阵λⅠ-A的smith标准型为：

其中d₁(λ)、d₂(λ)、…、d_n(λ)为λⅠ-A的不变因子，则λⅠ-A≌D，D为λⅠ-A的smith标准型。对于矩阵D，有∂(d₁(λ))+∂(d₂(λ))+…+∂(d_n(λ))=n。假设λⅠ-A的smith标准型，即矩阵D的形式为：

矩阵D=矩阵S，对于n阶方阵S，左上角为n-p阶单位矩阵，h_i(λ)的次数n_i均大于0，即∂(h_i(λ))=n_i>0，其中i=1,2,…,p，∂(h₁(λ))+∂(h₂(λ))+…+∂(h_p(λ))=n₁+n₂+…+n_p=n。

矩阵S的左上角有n-p个1，有下式：

矩阵S通过初等变换可变为：

T为n阶方阵，S≌T，其中T_i为：

T_i为n_i阶方阵，还是写一遍完整的矩阵T吧，如下：

上图中的①省略了T_i，其中i=3,4,…,p-1。对于每一个T_i中的h_i(λ)进行质因式分解得：

上式的λ_i互不相同，其中i=1,2,…,k，r₁+r₂+…+r_k=n_i。对于n_i阶方阵T_i：

设h_i(λ)=(λ-λ₁)^r₁·(λ-λ₂)^r₂·…·(λ-λ_k)^r_k=(λ-λ₁)^r₁·g(λ)，即g(λ)=(λ-λ₂)^r₂·…·(λ-λ_k)^r_k，有(λ-λ₁)^r₁和g(λ)互质。

对于n_i阶方阵T_i，行列式因子为：

（1）D_k(λ)=1，其中k=1,2,…,n_i-1；

（2）D_ni(λ)=h_i(λ)。

设n_i阶方阵B_i为：

有B_i≌T_i，因为B_i的行列式因子为：

（1）D_k(λ)=1，其中k=1,2,…,n_i-2；

（2）D_ni(λ)=h_i(λ)；

（3）对于n_i-1阶行列式因子，有：n_i-1阶子式中不为0的有g(λ)、(λ-λ₁)^r₁、h_i(λ)，其中h_i(λ)有n_i-2个，这三个多项式中前两个互质，因此最大公因式为1，即D_ni-1(λ)=1。

B_i与T_i的各k阶行列式因子相同，其中k=1,2,…,n_i，因此B_i≌T_i。

对于g(λ)=(λ-λ₂)^r₂·…·(λ-λ_k)^r_k，分解为g(λ)=(λ-λ₂)^r₂·…·(λ-λ_k)^r_k=(λ-λ₂)^r₂·g₁(λ)，其中g₁(λ)=(λ-λ₃)^r₃·…·(λ-λ_k)^r_k，对于矩阵：

可证T_i与上述矩阵等价，一直分解g₁(λ)下去，最后得到矩阵：

可证T_i与上述矩阵等价。因此：

记上图右面的矩阵为J(λ)，其矩阵表示的左上方的第一块矩阵已给出，右下角即①部分省略了很多分块矩阵，其形式与左上角相同，有T≌J(λ)。

现在先总结一下以上内容得到的矩阵关系：λⅠ-A≌D，矩阵D=矩阵S，S≌T，T≌J(λ)，因此根据矩阵等价的传递性， 有：

λⅠ-A≌J(λ)

可对矩阵J(λ)进行分块为：

其中i=1,2,…,q，J_i(λ)∈C^r_i×r_i[λ]，r_i阶方阵J_i(λ)为：

上式中(λ-λ_i)^r_i是λⅠ-A的初等因子，i=1,2,…,q，其中可能有重复项。接下来要做的是寻找一个n阶数字方阵J，使其特征矩阵λⅠ-J=J(λ)，其中J为：

对于矩阵J_i，有λⅠ-J_i≌J_i(λ)，其中r_i阶方阵J_i(λ)为：

对于r_i阶方阵J_i(λ)，其行列式因子为：

（1）D_k(λ)=1，其中k=1,2,…,r_i-1；

（2）D_ri(λ)=(λ-λ_i)^r_i。

于是需要矩阵λⅠ-J_i与J_i(λ)有相同的行列式因子。当λⅠ-J_i的主对角线元素均为λ-λ_i时，可以保证r_i阶行列式因子为(λ-λ_i)^r_i。然后就是需要使1阶、2阶、…、r_i-1阶行列式因子均为1了。当主对角线上方的次对角线均为1时，可以使1阶、2阶、…、r_i-1阶行列式均为1。于是有：

因此J_i为：

但是主对角线上方的次对角线均为-1不好看，可以令J_i为：

J_i的行列式因子也为：

（1）D_k(λ)=1，其中k=1,2,…,r_i-1；

（2）D_ri(λ)=(λ-λ_i)^r_i。

此时λⅠ-J_i为：

即主对角线上方的次对角线均为-1。称J_i为Jordan块：

J为：

称J为Jordan标准型。

下面到了总结的时候了。

A为复数域上的n阶方阵，即A∈C^n×n，其特征矩阵λⅠ-A≌J(λ)；对于n阶数字方阵J，其特征矩阵λⅠ-J=J(λ)。因此：λⅠ-A≌λⅠ-J，因此A～J，即二者相似。那么一定存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=J。

下面就求n阶方阵P。

由P^-1AP=J得AP=PJ，其中J为：

其中r_i阶方阵J_i为：

将n阶可逆方阵P分块为P=[P₁,P₂,…,P_q]，其中n×r_i阶矩阵P_i=[p_i1,p_i2,…,p_iri]，i=1,2,…,q，有：AP=A·[P₁,P₂,…,P_q]=[P₁,P₂,…,P_q]·diag(J₁,J₂,…,J_q)=PJ，则AP_i=P_iJ_i，i=1,2,…,q，即AP_i=A·[p_i1,p_i2,…,p_iri]=[p_i1,p_i2,…,p_iri]·J_i=P_iJ_i，即：

根据矩阵的乘法，可得：

（1）Ap_i1=λ_i·p_i1；

（2）Ap_i2=p_i1+λ_i·p_i2；

（3）Ap_i3=p_i2+λ_i·p_i3；

（4）…

（5）Ap_iri=p_iri-1+λ_i·p_iri。

其中i=2,…,q，所以有：

（1）(A-λ_iⅠ)p_i1=0；

（2）(A-λ_iⅠ)p_i2=p_i1；

（3）(A-λ_iⅠ)p_i3=p_i2；

（4）…

（5）(A-λ_iⅠ)p_iri=p_iri-1。

其中i=2,…,q。于是P是这样求解的：

1、对矩阵A求其特征矩阵λⅠ-A的不变因子，有两种方法：① 通过求各阶行列式因子，然后得到不变因子；② 对λⅠ-A做初等变换求出其smith标准型，则对角线上的元素即为不变因子；

2、根据求出的不变因子得出λⅠ-A的初等因子，假设(λ-λ_i)^r_i是λⅠ-A的初等因子，其中i=1,2,…,q，其中可能有重复项；

3、每一个(λ-λ_i)^r_i对应一个若当块J_i，其中i=1,2,…,q，r_i阶方阵J_i为：

4、矩阵A的若当标准型J为：

5、一定存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=J。将n阶可逆方阵P分块为P=[P₁,P₂,…,P_q]，其中n×r_i阶矩阵P_i=[p_i1,p_i2,…,p_iri]，i=1,2,…,q，对于每一个J_i，这样求P_i：

（1）(A-λ_iⅠ)p_i1=0；

（2）(A-λ_iⅠ)p_i2=p_i1；

（3）(A-λ_iⅠ)p_i3=p_i2；

（4）…

（5）(A-λ_iⅠ)p_iri=p_iri-1。

在第5步求解过程中，p_i1的选取要保证p_i2可以求出，类似地p_i2的选取（因为p_i2的选定并不唯一，只要适当选取一个即可）也要保证p_i3可以求出，如此等等。

6、最后P=[P₁,P₂,…,P_q]。

求解可逆方阵P结束，现在得到的n阶可逆矩阵P，可使得P^-1AP=J，其中J为n阶数字方阵A的Jordan标准型。

任何一个n阶数字矩阵都对应一个Jordan标准型。

Jordan标准型的应用之一就是求矩阵A的方幂，如A^k。

因为P^-1AP=J，所以A=PJP^-1有A^k=PJ^kP^-1，其中J^k为：

r_i阶方阵J_i为：

则J_i^k为：

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END