一.概念
1.ELV：用户的连接以及其邻居的连接
例子：2-hop ELV
v ∈ V ,2-hop ELV Gv consists of:
- v的1-hop 邻居 : {u | u ∈ V ∧ (u,v) ∈ E}.
-
涉及v的边 : {e = (v,u) | e ∈ E}.
-
v的2-hop 邻居:{w | ∃u ∈V,(u,v) ∈ E∧(u,w) ∈ E}.
-
涉及 v的 1-hop 邻居: {e = (u,w) | e ∈E ∧ (u,v) ∈ E}
2.邻居ELV
G=(V,E), v∈V,它的 ELV Gv ⊆G,G的邻居图G′
v在 G′ 中的ELV，是Gv的邻居 ELV Gv′
两个邻居ELV可能不包含相同的结点，可能有多条边不同
3.去中心化差分隐私
一组结点 V =v1,v2,...vn，一组随机机制 {Mi,1 ≤ i ≤ n} ，共同满足 (ε, δ)-DDP,
对于任意两个邻接图 G = (V,E) and G′ = (V,E′), 任意可能输出的子集 {Si ⊆ range(M), 1 ≤ i ≤ n},
其中 Gi 和 Gi′ (1 ≤ i ≤ n) 是 vi 关于G 和 G′ 的邻居ELVs
二.问题
1.ELV中邻居的敏感连接如何保护，即如何对ELV中的所有参与者使用差分隐私
2.数据收集者如何使用ELV，精确估计全局图属性
3.收集ELV时，直接使用本地差分隐私是不够的
4.有效的数据收集机制 -- 多阶段框架(不直接收集子图，而是分析者询问最小噪音规模，)
三.已有方法
1.本地差分隐私（Local differential privacy）
问题：对手的目标是u，想要发现u和v之间是否连接；然后对手询问u以及他的1-hop邻居，由此得到
一个二进制的值；之后计算二进制的平均值；尽管每个报告满足LDP，但是若查询数量较大，对手有
很高可能性知道u和v之间是否连接
原因：每个用户只考虑自己的信息，没有考虑邻居的信息
2.基线方法--全局敏感度
全局敏感度：
考虑到一个子图模式 g, 每个参与者直接报告它的子图计数值的噪音版本
的敏感度是 
，敏感度会很高，导致poor结果
高的原因：
考虑g是三角形的情况，
，
噪音方差就是
不足：
考虑最坏的场景，不管图的实际结构
方差较大，因为是基于全局敏感度注入噪声
3.多阶段框架--局部敏感度
1）局部敏感度：
比如，三角形计数值，
（局部敏感度的最大值即为全局敏感度3(n-2) ）
问题：如果询问每个用户，注入拉普拉斯噪声，是不能满足差分隐私的
原因：结点v1的局部敏感度是1，图1中增加或者移除一条边，仅仅至多改变G1中1个三角形
也就是v1的局部敏感度仅依赖 ELV G1，而不管G1以外的G结构
考虑图G的邻居图 G′，和G相同除了增加了一条边 (v1,v8)
G′ 中 v1的三角形计数值局部敏感度变成2，比如增加边 (v1, v5)，会产生两个三角形
由此产生的问题是：在随机化机制Mi中使用他的真实值会违反差分隐私（感觉在哪里看到过类似的结论，一时想不起来了）
四.创新方法--多阶段框架
1.主要思想
针对上面提出的本地差分隐私不能满足DP，提出噪音规模本身也是隐私信息
给每个结点的子图计数值
注入拉普拉斯噪声，但是噪音的规模不是确定的
噪音规模从一个分布中抽样得到，有 
的可能性 that 注入拉普拉斯噪声可以隐藏任意边存在或者不存在
2.两个阶段
阶段1
使用 (ε1,δ1)-DDP 来收集 每个用户的信息，决定合适的噪音规模 λ
λ需要满足两个条件：
(1) 使用(ε1,δ1)-DDP 产生 λ
(2) 至少 1 − δ2 可能性, 满足：
阶段2
询问每个用户报告他的加噪子图计数值，对于一些 ε 和 δ，有至少 1 − δ 可能性 满足 ε2-DDP
3.多个阶段
递归使用两个阶段框架，产生多阶段的解决方法
Phase 1分为 ：Phase 1.1 and Phase 1.2，
Phase 1.1 ：
产生 λ1，
有δ1,2可能性失败，比如输出的噪音规模不是很大，不能让 Phase 1.2满足 ε1,2-DP
估计图计数值的本地敏感性
的本地敏感性
，有1−δ1,2可能性输出真实的上界
Phase 1.2：
应用拉普拉斯机制，当使用一个正确的噪音规模，满足 ε1,2-DP
使用估计的
来输出一个估计的，最多有1 − δ2可能性是真实值
Phase 2：
使用估计的来得到随机子图数
五、证明
1.Phase 1
Phase 1 的输出：(λ,Y)，Y代表所有额外的私人信息除了λ
Sλ：Phase 1的任意可能输出集合
Phase 2 的输出： 
代表噪音子图计数值 集合
证明过程：
想要满足：
s1：
s2: 因为有 >= 1 − δ2 可能性
，所以 
的可能性是 >= 1 − δ2
也就是 
的可能性是 小于 δ2
s3: δ1 < δ，如果已经小于 δ1 ，那么必然也是小于 δ
s4:
s5: 因此，（可能性 乘 
必然小于 ）
六、参考链接
1.全局敏感度和局部敏感度的区别：https://blog.csdn.net/Ano_onA/article/details/100550926
更新中...
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