网络流笔记

一些名词

图 G(V,E)    边集为 V，点集为 E。
tmp(temporary)  暂时
弧       有向边
c(u,v)      容量          (cap)
f(u,v)      流量          (flow)
r(u,v)      残余流量        (rest)

最大流问题

1、Ford Fulkerson method

• 1-1 残留网络
  r(u,v)=c(u,v)-f(u,v)=f(v,u)

• 1-2 增广路径
  一条 s->t 的路径使得 r(u,v)>0

• 1-3 求最大流
  建上反向边，使得流出去的流得以“反悔”。（精髓）
  当残留网络Gf中不包含增广路径时，f 就是是G的最大流。
  一直找增广路径，找不到就退出算法，那么当前流即是最大流

• 1-4 找增广路方法

  • EK (EdmondsKarp)
    直接 bfs 找最短的增广路径，修改流量值，当没有增广路时算法停止。
  • Dinic (模板链接)
    EK 的优化，在分层的基础上 dfs。
    允许弧 u->v：rest[u,v]>0，dis[v]=dis[u]+1。
    每次求一次 dis[] (点在残量网络中到 S 的最短路)，然后在允许弧网络中处理出若干条增广路径。
  • ISAP (Improved Shortest Augmenting Path)
    施工中

• 1-5 相关证明
  施工中……

• 1-6 推荐文章
  
  • (Dinic) https://comzyh.com/blog/archives/568/
  • (ISAP) http://www.renfei.org/blog/isap.html

2、Preflow-push method

割

割：流网络 G(V,E) 的割 (S,T) 将 V 划分为分别包含 s 与 t 的两个集合，从集合S到集合T的所有弧的集合
割容量：割中弧的容量和
最大流不能超过最小割