小甲鱼笔记：数据结构——线性表（一）线性表的顺序存储结构，线性表顺序存储结构的增，删，插入元素操作

一、线性表的定义

线性表（List）：由零个或多个数据元素组成的有限序列。

TIPS:
1.线性表是一个序列，也就是说元素之间是有先来后到的。
2.若元素存在多个，则第一个元素无前驱，最后一个元素无后继，其他元素只有一个前驱和后继。
3.线性表是有限的。

用数学语言定义：
若将线性表记为（a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…an）则ai-1领先于ai，ai领先于ai+1,称ai-1为ai的前驱元素，ai+1是ai的直接后继元素。

所以线性表元素的个数n（n>0）定义为线性表长度，当n=0成为空表。

二、抽象数据类型

1. 定义：

一组性质相同的值的集合及定义在此集合上的一些操作总称。
例：很多编程语言的整型，浮点型，字符型这些即为数据类型。
在计算机中，内容并非无限大，若计算1+1=2整型数字的加减乘除，不需要开辟很大空间。
若计算1.23456+2.78946这样带小数的就需要比较大的空间存放，故要对数据类型进行分类，分出多种类型来适合各种不同的计算条件差异。

例如：
C语言中数据类型分为两类：
原子类型：不可以再分解的基本类型，例如：整型，浮点型，字符型…

结构类型：由若干个类型组合而成，是可以再分解的，例如：整形数组是由若干个整形数据组成的

何为抽象：是指抽取出事物具有普遍性的本质，它要求抽出问题的特征而忽略非本质的细节，是对具体事物的一个概括。抽象是一种思考问题的方式。

2. 抽象数据类型

是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作，它的定义取决于它的一组逻辑特性，而与其他计算机内部如何表示和实现无关。

3. 为了方便江杰对抽象数据类型进行规范描述，我们给出了描述抽象数据类型进行规范描述，我们给出了描述抽象数据类型的标准格式。

 ADT: 数据类型
 DATA:数据元素之间的逻辑关系定义
 OPERATION:操作

二、线性表的抽象数据类型

1. 定义：
   ADT：线性表（List）

   Data：线性表的数据对象集合为（a1,a2…an），每个元素的类型均为DataType。其中，除第一个元素a1外，每一个元素有且只有一个前驱元素，除了最后一个元素an外，每个元素有且只有一个后继元素。数据元素之间的关系是一对一的关系

   Operation：
   InitList(*L)：初始化操作，建立一个空的线性表L
   ListEmpty(L)：判读线性表是否为空表，若线性表为空，返回true，否则返回false；
   ClearList(*L)：将线性表清空。
   GetElem(L,i,*e)：将线性表L中第i个位置元素值返回给e；
   LocateElem(L,e)：在线性表L中查找与给定值e相等的元素，如果查找成功，返回该元素在表中序号表示成功，否则，返回0表示失败。
   ListInsert(*L,i,e)：在线性表L中第i个元素位置插入新元素e；
   ListDelete(*L,I,*e)：用删除线性表L中第i个位置元素，并用e返回其值。
   ListLength(L)：返回线性表L的元素个数。

对于不同的应用，线性表的基本操作是不同的，上述为基础Operation，对于实际问题中涉及的关于线性表的更多复杂操作，完全可以用这些基本操作的组合来实现。
例题：
若实现两个线性表A，B的并集操作，即要是的集合A=AUB；
分析：
只要遍历集合B中的每个元素，判断当前元素是否存在A中，若不存在，则插入A中；所以我们需要用到上述的基本Operation。
ListLength(L);GetElem(L,i,*e)；LocateElem(L,e);ListInsert(*L,i,e);

伪代码实践：
void UnionL(List *La,list Lb){
    
    
	int La_len,Lb_len,i;
		ElemType e;
		La_len = ListLength(*La);
		Lb_len = ListLength(Lb);
		for(int i = 1;i<La_len;i++){
    
    
			//遍历获得Lb中的所有元素
			GetElem(Lb,i,&e);
			//判断La中的中的元素是否与取出的e相同，若没有则插入元素
		if(!LocateElem(*La,e)){
    
    
			ListInsert(La,++La_len,e);
		}
		}
}

三、线性表的顺序存储结构

1. 引入：
   线性表由两种物理存储结构：顺序存储结构和链式存储结构。在此介绍顺序存储结构。

2. 顺序存储结构
   是指用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。例如：数组。

   物理上的存储方式就是在内存中找个初始地址，然后通过占位的形式，把一定内存空间给占掉，然后把相同数据类型的数据元素一次放在这块空地上。（可以理解为一个团体共50人，在看电影时，第一位领头人，去第一排第一个位置占座，剩余的49人依次跟在领头人的后面。）

3. 线性表顺序存储的结构代码

	 #define MAXSIZE 20
		typedef int ElemType;
	 	typedef struct{
    
    
		ElemType date[MAXSIZE];
		int length;//线性表当前长度
	}SqList;//对数组进行封装，增加了当前长度的变量

1. 总结
   顺序存储结构封装需要三个属性：
   ——存储空间的起始位置，数组data，它的存储位置就是线性表存储空间的存储位置
   ——线性表的最大存储容量：数组的长度MaxSize.
   ——线性表的当前长度：length
   ——注意：数组的长度与线性表的当前长度需要进行区别：数组的长度时存放线性表的存储空间的总长度，一般初始化后长度不变（一些编程语言可以将数组长度变大，但一般情况下认为初始化长度不变）。而线性表的当前长度时线性表中的元素的个数，是会变化的。

四、地址计算方法

因为编程语言中我们的数组是从0开始进行遍历，但线性表一般从1开始遍历
假设ElemType占用的是c个存储单元（字节），那么线性表中第i+1个数据元素和第i个数据元素的存储位置的关系是：（Loc表示获得存储位置的函数）：Loc(ai+1) = Loc(ai)+c

所以对于第i个数据元素ai的存储位置可以由a1推算得出：
Loc（ai） = Loc（a1）+（i - 1）* c;

通过公式，可以随时计算出线性表的任意位置的地址。不管是第一个还是最后一个都是相同的实践，它的存储实践性能为O(1)，我们通常成为随机存储结构。

五、线性表顺序存储结构之获得元素操作

1. 分析：
   实现GetElem的具体操作，即将线性表L中的第i个位置元素值返回。只需要把数组第i-1下标的值返回即可。

2. 代码实践

 #define OK 1
 #define ERROR 0
 #define TRUE 1
 #define FALSE 0
 typedef int Status;
 //Status 是函数的类型，它的值是函数结果状态代码，如OK等。
 //初始条件：顺序线性表L已存在，i<= i<=ListLength(L)
 //操作结果：用e返回L中第i个数据元素的值
 Status GetElem(SqList L,int i,ElemType *e){
    
    
	if(L.length == 0 || i < 1 || i>L.length){
    
    
		return ERROR;
}
	*e=L.data[ i - 1 ];
return OK;
}

注意这里的Status是一个整型，约定返回1代表OK，返回0代表ERROR。其时间复杂度为O（1）

六、线性表顺序存储结构之插入元素操作

1. 分析
   ——如果插入位置不合理，抛出异常
   ——如果线性表长度大于等于数组长度，则抛出异常或动态增加数组容量。
   ——从最后一个元素开始向前遍历到第i个位置，分别将他们都向后移动一个位置；
   ——将要插入元素填入位置i处；
   ——线性表长度+1

2. 代码实践

  Status ListInsert(SqList *L,int i,ElemType e){
    
    
		int k;
		if(L->length == MAXSIZE) //顺序线性表已经满了
		{
    
    
			return ERROR;
		}
		if(i < 1 || i > L->length+1)//i不在范围内时
		{
    
    
			return ERROR;
		}
		if(i <= L->length) //若插入数据位置不在表尾{
    
    
			//将要插入位置后数据元素向后移动一位
			for(k = L->length-1; k >= i -1;k--){
    
    
			L->data[k+1] = L->data[k];
		}		
}
		L->data[ i - 1] = e;		//将新元素插入
		L->length++;
		return OK;
}

注意：ListInsert（*L,i,e）插入元素操作的时间复杂度为O(n);第i个位置插入新元素e

七、线性表顺序存储结构之元素删除操作

1. 分析
   ——删除位置不合理，抛出异常
   ——取出删除元素
   ——从删除元素位置开始遍历。最后一个元素位置，分别将他们都向前移动一个
   ——表长-1
2. 代码实践

 Status ListDelete(SqList *L,int i,ElemType *e){
    
    
		int k;
		if( L->length ==0)
		{
    
    
		return ERROR;
		}
		if( i < 1 || i>L->length)
		{
    
    
			return ERROR;
		}
		*e= L->data[i-1];
		if( i < L->length){
    
    
			for( k = i; k < L->length;k++){
    
    
			L->data[k-1] =L->data[k];
	}
}
L->length--;
}

插入或删除的时间复杂度，最好的情况下为O（1），表示只需在尾部插入一个元素或者在尾部删除一个元素。最坏情况下，需要O（n）个时间复杂度，因为需要遍历循环线性表。两者进行平均可得时间复杂度O((n-1)/2）可以推出时间复杂度为O（n）