Educational Codeforces Round 87 (Rated for Div. 2)C2 - Not So Simple Polygon Embedding(几何学)

题目：click
题意：也就是正2*n边形的外接正方形的最小边长。

我们可以先拿C1下手，画图画好了问题也就解决一半了。

先看当n时偶数的时候，正多边形其实也就外接一个圆，外接的正方形在保证了边长等于圆的直径上旋转。其实就可以看出来，所谓的正方形旋转只是在他们分割成的那个2*n个三角形的顶角旋转，一旦旋转过度另一边会牵制，本质就是在 $\frac{360}{2*n}$的角度中旋转找一个最小的边长，从等于圆直径开始看能都缩小，显然上图就是可以缩小正方形直接重合正八边形的边长即可，可以发现其实是分割的三角形底边的中心点位置。(再者就是其实n为偶数每次n增加都增加了四条边在圆内，保证正多边形，均匀分散在四个角，四个角的基础就是分割成四个直角可以缩小到那。)

同理分析n为奇数时，旋转角度也是同上的角度，分割的那个三角形角A，如上图此时肯定不能缩小，左右两边已经到顶点了。
接着旋转可以看到可以缩小正方形到正六边形的顶点，会发现只与角A的/2有关，其余限制。在红线位置，收缩的最大及答案。即角A/4。
自己画画图可以感受到，严格的证明还没有证。之后利用正弦定理求解即可。

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#define inf 0x3f3f3f3f
#define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=262144*2+10;
const double PI=acos(-1.0);
const long double eps=1e-9;
const int MAX=4e4+5;
char s[200100];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n,i,j;
        scanf("%d",&n);
        n*=2;
        double a=PI/(1.0*n);
        double temp=0.5/sin(a);//等腰三角形的腰也就是圆的半径
        double c=(PI/2)-(a/2.0);
        double ans=temp*sin(c);
        ans*=2.0;
        printf("%.12lf\n",ans);
    }    return 0;
}