笔记：宾大《Algebra, Topology, Differential Calculus, and Optimization Theory For CS and ML》——第三章第三节

3.3 索引及求和符号 $\Sigma$

索引集(index set)的主要功能是唯一地、有顺序地标记每一个元素。

定义 对于集合 $A$ ，他的索引集（ $I$-indexed family）可以表示为函数 $a: I \rarr A$ , 即
$\{ (i,a(i)) | i \in I \}$
其中 $a(i) \in A$ 。我们可以将此视为一组关于原集合 $A$ 的数据对。

通常我们为了书写简单，进行以下的替代：

• $a_i$ 替代 $a(i)$

• $(a_i)_{i \in I}$ 替代 $\{ (i,a(i)) | i \in I \}$

例如，对于索引集 $I = \{r,g,b,y\}$ 和所有整数的集合 $A$ ，那么数据对可以表示为
$a = \{(r,2),(g,3),(b,2),(y,11)\}$
因为数字 “2” 出现了两次但是是不同的索引，所以在这个数据对中也表示着两个不同的元素。

如果我们使用的索引集是有序的，那么我们我们将上面 $a$ 的数据对 $(a_i)_{i \in I }$ 称为关于 $I$ 的序列（ $I$-sequence）。

这里我们不应将索引集和多集（multiset）混淆。

Note：multiset 指在一某元素在一个集合中出现多次（大于等于两次）的集合。例如对于集合 $A=\{a,b,c,d\}$ ， $\{a,a,a,b,b,b,b,c,c,\}$ 就是一个multiset，每一个元素都可能出现多次，而且与顺序无关。单独从形式上来说，多集是一个函数 $s: A \rarr \N$ 或者等价于一组对 $\{(a,i)|a∈A\}$。因此，一个多集是来自 $\N$ 的按索引的元素族，而不是按索引的元素族，因为不同的元素可能具有相同的多重性。

总结起来可以这样说：一个索引集（index）是一个序列（sequence）的泛化，而一个多集（multiset）是一个集合（set）的泛化。

我们可以证明（过程较为复杂，可以对应原书的62页）， $\Sigma_{i \in I} a_i$ 的计算与计算它的顺序无关，即其同样满足结合律和交换律。（原文中是这么描述证明过程的，For those who want to see the gory(血淋淋的) details, here we go）。

定理 对于任何一个非空集合 $A$ ，其满足在二元下的结合律和交换律，即满足运算 $+:A \times A \rarr A$ ；对于两个非空有限自然数序列 $I$ 和 $J$ (两者的顺序截然不同)，那么对于每一个序列 $(a_i)_{i \in I }$ 对应的集合 $A$ ，都可以得到：
$\sum_{\alpha \in I} a_\alpha = \sum_{\alpha \in J} a_\alpha$
举例来说就是对于一个集合 $A = \{2,-3, \sqrt 2\}$ ，不管使用以下任何一种的索引集，其 $\Sigma_{i \in I} a_i$ 的结果均相同。

1. 如果 $I = \{1,2,3\}$ ， $a = \{(1,2),(2,-3),(3,\sqrt2)\}$ ，那么 $\Sigma_{i \in I} a_i = 2-3+ \sqrt2 = -1+ \sqrt2$ ;
2. 如果 $I = \{2,5,7\}$ ， $a = \{(2,2),(5,-3),(7,\sqrt2)\}$ ，那么 $\Sigma_{i \in I} a_i = 2-3+ \sqrt2 = -1+ \sqrt2$ ;
3. 如果 $I = \{r,g,b\}$ ， $a = \{(r,2),(g,-3),(b,\sqrt2)\}$ ，那么 $\Sigma_{i \in I} a_i = 2-3+ \sqrt2 = -1+ \sqrt2$ ;

这些看起来是显而易见的，不过在后面的部分公理证明中都是不可或缺的条件。

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线性独立，子空间