1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
立方差公式与立方和公式共称为完全立方公式。具体表述为：两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。用公式表达即：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
解题时常用它的变形：
(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b) 和 a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)
(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³
常用证明方法：
1、综合法。综合法是一种从题设到结论的逻辑推理方法，也就是由因导果的证明方法。
2、分析法。分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。分析法的证明路径与综合法恰恰相反。
3、反证法。由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。
反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：
1）归谬法：若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。
2）穷举法：若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。
证明：1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1=n(n+1)(n+2)/6
首先可以将1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1改写为1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+4+.n)
又因为1+2+3+……+n=(n^2+n)/2
所以1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+4+.n)
=1/2[(1^2+1)+(2^2+2)+……+(n^2+n)]
=1/2[(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+4+.n)]
=1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]
=n(n+1)(n+2)/6
或者1+2+3+……+n=C 2 n+1(C为组合数,2为上标,n+1为下标),再利用(C m-1 n)+(C m n)=C m n+1化简得：
1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+4+.n)=C 3 n+2=n(n+1)(n+2)/6