一.首先，还是一样的套路，我们必须要知道堆是什么？
堆，是一种经过排序的完全二叉树。
之前的总结里总结了二叉树
而这是一棵完全二叉树。
堆分为大顶堆和小顶堆。
大顶堆就是 根节点比其他结点都大（注意与二叉排序树的区别：二叉排序树：可能是一棵空树，不是空树的话左子树比根结点小，右子树比根结点大，并且左右子树同样是二叉排序树。）
小顶堆就是 根结点比其他结点都小（并且左右子树也同样是堆，也是一种递归的定义：一棵树是大顶堆（小顶堆），左右子树（不为空）也是大顶堆（小顶堆）。
二.堆的存储结构
前面提到堆是完全二叉树，那么堆就可以用数组来存储了。
那么堆可以来干什么呢？可以用来堆排序。
还有做我们的L2-012关于堆的判断的题目。
三.构造堆
第一步：我们必须要构造堆：
1.最后一个非叶子节点（从最后一个非叶子点开始构造）
对于网上的一些构造堆的方法，他们要找到最后一个非叶子节点，那么最后一个非叶子节点就是：长度/2-1
这里我来解释一下，为什么？
答：
需要分两种情况：
①堆的最后一个非叶子节点若只有左孩子
②堆的最后一个非叶子节点有左右两个孩子
完全二叉树的节点序号为i，它的左孩子序号为2i，右孩子序号为2i+1。
对于①左孩子的序号为n-1，则n-1=2*i，推出i=（n-1)/2-1；注意了：这里关系到取整的问题，这种情况树的结点数是偶数，n是奇数，n-1是偶数，由于很多语言默认向下取整，因此此时 （n-1)/2 -1= n/2 -1;
对于②左孩子的序号为n-2，在n-2=2i，推出i=n/2-1；右孩子的序号为n-1，则n-1=2i+1，推出i=n/2-1；
所以最后一个非叶子节点就是：长度/2-1
实现代码，可以参考其他大佬的博客。
推荐博客：
https://www.cnblogs.com/lanhaicode/p/10546257.html
2.上浮法构造（从第一个子节点开始构造）
方法如下：
从第一个子节点开始遍历，与其双亲结点比较，如果比双亲结点大的情况下，就上浮到双亲结点，此时双亲结点继续上浮，直到根节点。(注意这是一次循环，还需要循环n-1次）。注意找双亲结点，子节点的编号为i，双亲结点的编号为i/2(i>1).因此其数组下标就是（n-1)/2.而构造堆中使用的也是下标。
因此代码如下：
#include<stdio.h>//完全二叉树可以用数组来存就比较方便
int arr[1005];
int FindParent(int n)
{
return (n-1)/2;//返回的是数组序号，数组序号与完全二叉树的结点编号差1.（结点编号比数组序号多1）
}
//从第一个子节点开始遍历，与其父节点比较，如果比父节点大的情况下，就上浮到父节点，此时父节点继续上浮，直到根节点。
void BuiltH(int *arr,int n)//建堆
{
for (int i=1;i<n;i++)
{
int t = i;
while (t!=0&&arr[t]<arr[FindParent(t)])
{
int temp;
temp = arr[t];
arr[t] = arr[FindParent(t)];
arr[FindParent(t)] = temp;
t = FindParent(t);
}
}
}
这种构造方法比较容易理解，上述代码构造的是小顶堆。大顶堆的构造也只是改个比较符合。
堆构造好了，那就先来我们的应用一：
四.堆排序：
堆排序的过程也可以看看其他大佬的博客
推荐博客：
https://www.cnblogs.com/lanhaicode/p/10546257.html
下面是堆排序代码：
#include<stdio.h>//完全二叉树可以用数组来存就比较方便
int arr[1005];
int FindParent(int n)
{
return (n-1)/2;
}
//从第一个子节点开始遍历，与其父节点比较，如果比父节点大的情况下，就上浮到父节点，此时父节点继续上浮，直到根节点。
void BuiltH(int *arr,int n)//建堆
{
for (int i=1;i<n;i++)
{
int t = i;
while (t!=0&&arr[t]<arr[FindParent(t)])
{
int temp;
temp = arr[t];
arr[t] = arr[FindParent(t)];
arr[FindParent(t)] = temp;
t = FindParent(t);
}
}
}
void swap(int *arr,int n)//交换数组末尾与堆顶的元素
{
int tmp = arr[0];
arr[0]=arr[n];
arr[n]=arr[0];
}
int main()
{
int len;
scanf("%d",&len);
for (int i=0;i<len;i++）
{
scanf("%d",arr[i]);
}
for (int i=len;i>=0;i--)//从末尾开始。一个一个的移走，再构造剩下的数组元素的堆，再移走。
{
BuiltH(arr,i);
swap(arr,i);
}
for (i=0;i<len;i++)
{
printf("%d\n",arr[i]);
}
return 0;
}
五：Pat L2-012 关于堆的判断
先看题目，学了那么堆的知识，可以拿这道题目来练练手：
将一系列给定数字顺序插入一个初始为空的小顶堆H[]。随后判断一系列相关命题是否为真。命题分下列几种：
x is the root：x是根结点；
x and y are siblings：x和y是兄弟结点；
x is the parent of y：x是y的父结点；
x is a child of y：x是y的一个子结点。
输入格式：
每组测试第1行包含2个正整数N（≤ 1000）和M（≤ 20），分别是插入元素的个数、以及需要判断的命题数。下一行给出区间[−10000,10000]内的N个要被插入一个初始为空的小顶堆的整数。之后M行，每行给出一个命题。题目保证命题中的结点键值都是存在的。
输出格式：
对输入的每个命题，如果其为真，则在一行中输出T，否则输出F。
输入样例：
5 4
46 23 26 24 10
24 is the root
26 and 23 are siblings
46 is the parent of 23
23 is a child of 10
输出样例：
F
T
F
T
解法：构造堆，然后再判断命题，对于命题的输入也特别有讲究，而如果全部看做字符串输入也比较麻烦，当然可以使用其他编程语言提供的split函数来分割字符串，也会比较方便，但我们这里使用的是c语言，就会混合着数字和字符串的输入，（记住，必须把一行所有字符串，数字都输入进来（在一次判断中），不然可能会出现scanf读取同一行的字符串。而一个命题调用了两次的情况，也可以使用gets(),但也要保证所有字符串，数字都输入进来（在一次判断中），所以这就需要多次用gets(),其实还不如用scanf，让它把数字和与数字挨着的字符串输入，会更加方便）再用字符串的不同来判断是哪一种命题，用数字x和y调用哪一种函数。这里有四个命题，就有四个函数.。
下面就看代码：
#include<stdio.h>//完全二叉树可以用数组来存就比较方便
int arr[1005];
int N;
int FindParent(int n)
{
return (n-1)/2;
}
//从第一个子节点开始遍历，与其父节点比较，如果比父节点大的情况下，就上浮到父节点，此时父节点继续上浮，直到根节点。
void BuiltH(int *arr,int n)//建堆
{
for (int i=1;i<n;i++)
{
int t = i;
while (t!=0&&arr[t]<arr[FindParent(t)])
{
int temp;
temp = arr[t];
arr[t] = arr[FindParent(t)];
arr[FindParent(t)] = temp;
t = FindParent(t);
}
}
}
void IsRoot(int x)//编号为i的结点存在数组下标为i-1的地方，因此得到数组下标后要加一。
{
if (x==arr[0])
{
printf("T\n");
}
else
{
printf("F\n");
}
}
void IsSiblings(int x,int y)
{
int a=0;
int b=0;
for (int i=0;i<N;i++)
{
if (arr[i]==x)
{
a =i+1;
}
if (arr[i]==y)
{
b = i+1;
}
}
if (a>b)
{
int t = a;
a = b;
b = t;
}
if (a%2==0&&(b-a)==1)
{
printf("T\n");
}
else
{
printf("F\n");
}
}
void IsParent(int x,int y)
{
int a=0;
int b=0;
for (int i=0;i<N;i++)
{
if (arr[i]==x)
{
a =i+1;
}
if (arr[i]==y)
{
b = i+1;
}
}
if (2*a==b||(2*a+1)==b)
{
printf("T\n");
}
else
{
printf("F\n");
}
}
void IsSon(int x,int y)
{
int a=0;
int b=0;
for (int i=0;i<N;i++)
{
if (arr[i]==x)
{
a =i+1;
}
if (arr[i]==y)
{
b = i+1;
}
}
if (a==2*b||a==(2*b+1))
{
printf("T\n");
}
else
{
printf("F\n");
}
}
int main()//注意输入格式。
{
int M;
scanf("%d %d",&N,&M);
for (int i=0;i<N;i++)//不要在循环体里改变 i的值
{
scanf("%d",&arr[i]);
}
BuiltH(arr,N);
int x=0;
int y=0;
char ch[100];
for (int i=0;i<M;i++)
{
scanf("%d %s",&x,ch);
getchar();
if (ch[0]=='a')//观察规律，写if语句。
{
scanf("%d %s %s",&y,ch,ch);
IsSiblings(x,y);
}
else
{
scanf("%s",ch);
getchar();
if (ch[0]=='a')
{
scanf("%s %s %d",ch,ch,&y);
IsSon(x,y);
}
else
{
scanf("%s",ch);
getchar();
if (ch[0]=='r')
{
IsRoot(x);
}
else
{
scanf("%s %d",ch,&y);
IsParent(x,y);
}
}
}
}
return 0;
}
今天的总结就这样了，困了，需要睡觉了，拜拜。
如果有错误，希望大佬指正。非常感谢。
