题目描述：给定一个n个元素的无序序列，求出第k小的数、第k大的数、中位数。
注意：其实要求出第k大的数，只需要求出第(n+1)-k小的数即可，中位数同理，如果n为偶数，就是求出(第n/2小的数+第n/2+1小的数) / 2，如果n为奇数，就是求出第n/2 + 1小的数。
下面给出三种解法：
- nth_element()
- 快速选择法
- 直接排序法
方法1：nth_element()函数
利用c++11自带的函数
nth_element(a1,a2,a3)：比如给定一个范围a.begin() 和a.end()作为参数1和3，参数2为a.begin()+5，就能求出该数组第6小的数，其实也就是排个正序以后位于下标位置5的数。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <deque>
#include <list>
#include <utility>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <iterator>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
const double E = exp(1.0);
const int MOD = 1e9+7;
const int MAX = 1e5+5;
int main()
{
/*
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
*/
vector <int> arr;
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
arr.push_back(i+1);
}
cout << "正序数组:" << endl;
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "乱序数组:" << endl;
random_shuffle(arr.begin(),arr.end());
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
cout << endl;
/** 方法1：调用nth_element()函数*/
/* 求第k小的数
for(int k = 1; k <= 10; k++)
{
cout << "使得第" << k << "小的数，位于第" << k << "个位置:" << endl;
nth_element(arr.begin(),arr.begin()+(k-1),arr.end());
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "第" << k << "小的数为" << arr[k-1] << endl << endl;
}*/
/* 求第k大的数
for(int k = 1; k <= 10; k++)
{
cout << "使得第" << k << "大的数，位于第" << 10-k+1 << "个位置:" << endl;
// 第k大的数即为第n-k+1小的数
nth_element(arr.begin(),arr.begin()+(10-k+1 -1),arr.end());
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "第" << k << "大的数为" << arr[10-k+1 -1] << endl << endl;
}*/
/* 求n个数的中位数
int n = 10;
double mid = 0;
if(n % 2 == 0)
{
// 偶数个数，中位数：(第n/2大的数 + 第n/2+1大的数) / 2
int k = n - (n/2) + 1;
nth_element(arr.begin(),arr.begin()+(k-1),arr.end());
mid += arr[k-1];
k = n - (n/2+1) + 1;
nth_element(arr.begin(),arr.begin()+(k-1),arr.end());
mid += arr[k-1];
mid /= 2.0;
}
else
{
// 奇数个数，中位数：第n/2+1大的数
int k = n - (n/2+1) + 1;// 对应的第k小的数
nth_element(arr.begin(),arr.begin()+(k-1),arr.end());
mid = arr[k-1];
}
cout << mid << endl;*/
return 0;
}
方法2：快速选择法
其实和快速排序差不多，但是注意：只是思路差不太多，但是快排的时间复杂度为O(nlogn)，快速选择算法的平均时间复杂度为O(n)，最差时间复杂度和快速排序一样都是O(n2)。
具体思路：
每次Partition一次，返回得到一个分支点pivot，这个点对应的左边的元素小于arr[pivot]，右边的元素大于它，所以arr[pivot]对应的就是序列的第 pivot+1 小的元素。
此时要求第k小的元素：
如果k == pivot+1，直接返回即可，
如果k > pivot+1，说明要找的元素更大，就往右边递归，
如果k < pivot+1，说明要找的元素更小，就往左边递归。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <deque>
#include <list>
#include <utility>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <iterator>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
const double E = exp(1.0);
const int MOD = 1e9+7;
const int MAX = 1e5+5;
void Swap(vector <int>& arr,int i,int j)
{
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
int Partition(vector <int>& arr,int left,int right)
{
/* 以arr[right]作为划分基准
int j = left - 1;
for(int i = left; i < right; i++)
{
if (arr[i] <= arr[right])
Swap(arr, i, ++j);
}
Swap(arr,++j,right);
return j;
*/
/* 以arr[left]作为基准 */
int val = arr[left];
while(left < right)
{
while(left < right && arr[right] >= val)
right--;
arr[left] = arr[right];
while(left < right && arr[left] <= val)
left++;
arr[right] = arr[left];
}
arr[left] = val;
return left;
}
int quickSelect(vector <int>& arr,int left,int right,int k)
{
// 在arr数组的left ~ right 的范围找出第k小的数
while(left <= right)
{
int pivot = Partition(arr,left,right);
// 比如k=5，那对应的第五小的数就在下标位置为4的地方(经过一次partition后，piovt左边的数都小于arr[pivot]、右边的数都大于arr[pivot])
if(k-1 == pivot)
{
return pivot;// pivot对应的位置就是第k小的元素对应的位置
}
if(k-1 > pivot)
{
left = pivot+1;// 要找大一点的元素，要在右边找
}
else
{
right = pivot-1;// 要找小一点的元素，要在左边找
}
}
return -1;
}
int main()
{
/*
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
*/
vector <int> arr;
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
arr.push_back(i+1);
}
cout << "正序数组:" << endl;
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "乱序数组:" << endl;
random_shuffle(arr.begin(),arr.end());
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
cout << endl;
/** 方法2：手写快速选择算法(1.应用了快速排序的思想 2.但其实就是跟nth_element差不多) */
/* 求第k小的数 */
int n = 10;
for(int k = 1; k <= n; k++)
{
cout << "第" << k << "小的数为" << arr[quickSelect(arr,0,9,k)] << endl;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
cout << endl << endl;
}
/* 求第k大的数 */
for(int k = 1; k <= n; k++)
{
cout << "第" << k << "大的数为" << arr[quickSelect(arr,0,9,(n+1)-k)] << endl << endl;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
cout << endl;
}
/* 求中位数：
奇数，n/2+1小的数
偶数：(n/2小的数 + n/2+1小的数) / 2
*/
double mid;
if(n % 2 == 0)
{
double tmp1 = arr[quickSelect(arr,0,n-1,n/2)];
double tmp2 = arr[quickSelect(arr,0,n-1,n/2 + 1)];
mid = (tmp1+tmp2)/2;
}
else
{
mid = arr[quickSelect(arr,0,n-1,n/2 + 1)];
}
cout << mid << endl;
return 0;
}
方法3：
将数组排个序就可以了，然后直接O(1)取值，不过排序的时间复杂度也要算进来，快排的话就是O(nlogn)，我就不写了。
