bellman-ford-有边数限制的最短路
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。请你求出从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，输出impossible。
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你求出从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，输出impossible。
注意：图中可能 存在负权回路 。
输入格式
第一行包含三个整数n，m，k。
接下来m行，每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
输出格式
输出一个整数，表示从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离。
如果不存在满足条件的路径，则输出“impossible”。
数据范围
1≤n,k≤5001≤n,k≤500,
1≤m≤100001≤m≤10000,
任意边长的绝对值不超过10000。
输入样例：
3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3
输出样例：
3#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, M = 10010;
int n, m, k;
int dist[N], backup[N];//遍历之前备份dist
struct Edge
{
int a, b, w;
}edges[M];
int bellman_ford()
{
//初始化
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;//第一个点初始化为0
for (int i = 0; i < k; i ++)
{
memcpy(backup, dist, sizeof dist);//存上一次迭代结果
for (int j = 0; j < m; j ++)
{//遍历所有边
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);//只用上一次结果来更新这次的距离，避免出现串联
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;//0x3f3f3f3f / 2
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for (int i = 0; i < m; i ++)
{
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);//边和两边距离
edges[i] = {a, b, w};
}
int t = bellman_ford();
if (t == -1) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);
}2、spfa-求最短路
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出impossible。数据保证不存在负权回路。
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出impossible。
数据保证不存在负权回路。
输入格式
第一行包含整数n和m。
接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
输出格式
输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出”impossible”。
数据范围
1≤n,m≤1051≤n,m≤105,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。
输入样例：
3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4
输出样例：
2#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];//dist[N]狄杰斯特拉的距离，表示从1号点到其他点的最短距离是多少。
bool st[N];//st[]每个点最短路是否确定
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
int spfa()
{
//1、初始化
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化
dist[1] = 0;//第一个点标记0
queue<int> q;//定义队列
q.push(1);//第一个点入队
st[1] = true;//标记1号点，防止重复存储
while (q.size())//while不空
{
int t = q.front();//取队头
q.pop();//删除队头
st[t] = false;//t不在队列
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];//取出当前点
if(dist[j] > dist[t] + w[i])//如果大于就更新
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j])//如果j不在队列，才加进去
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m --)
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);//边和两边距离
add(a, b, c);
}
int t = spfa();
if (t == -1) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}3、spfa-判断负环
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你判断图中是否存在负权回路。
输入格式
第一行包含整数n和m。
接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
输出格式
如果图中存在负权回路，则输出“Yes”，否则输出“No”。
数据范围
1≤n≤20001≤n≤2000,
1≤m≤100001≤m≤10000,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。
输入样例：
3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4
输出样例：
Yes#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
//cnt[N]存边数
int dist[N], cnt[N];//dist[N]狄杰斯特拉的距离，表示从1号点到其他点的最短距离是多少。
bool st[N];//st[]每个点最短路是否确定
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
int spfa()
{
queue<int> q;
//判断是否存在负环，需要把所有点放在队列里面
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
st[i] = true;
q.push(i);//把所有点放进来
}
while (q.size())//while不空
{
int t = q.front();//取队头
q.pop();//删除队头
st[t] = false;//t不在队列
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];//取出当前点
if(dist[j] > dist[t] + w[i])//如果大于就更新
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
//更新边
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true;
if (!st[j])//如果j不在队列，才加进去
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m --)
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);//边和两边距离
add(a, b, c);
}
if (spfa()) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}4、Floyd-求最短路
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。再给定k个询问，每个询问包含两个整数x和y，表示查询从点x到点y的最短距离，如果路径不存在，则输出“impossible”。数据保证图中不存在负权回路。
d[i,j]存的是从i到j的最短路径：
输入格式
第一行包含三个整数n，m，k
接下来m行，每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
接下来k行，每行包含两个整数x，y，表示询问点x到点y的最短距离。
输出格式
共k行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出“impossible”。
数据范围
1≤n≤2001≤n≤200,
1≤k≤n21≤k≤n2
1≤m≤200001≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。
输入样例：
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
输出样例：
imp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 210, INF = 1e9;
int n, m, Q;
int d[N][N];//存邻接矩阵
//floyd算法实现
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++)
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= n; j ++)
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= n; j ++)
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
//接下来m行，每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z
while (m --)
{
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
d[a][b] = min(d[a][b], w);
}
floyd();
//接下来Q行，每行包含两个整数x，y，表示询问点x到点y的最短距离
while (Q --)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
if (d[a][b] > INF / 2) puts("impossible");
else printf("%d\n", d[a][b]);
}
return 0;
}
