2 Why can machines learn?
2.1 Training vs Testing
2.1.1 Recap
两个核心问题：
- 能否保证\(E_{out}(g)≈E_{in}(g)\)？
- 能否使得\(E_{in}(g)≈0\)？
理解：
- 1.如果g≈f，则必有\(E_{out}(g)≈0\)；
- 2.数据集D是在输入总体X上随机采样，并通过未知的映射模式f得到的（总体X的分布P是未知的）；
- 3.只要M是有限的，且N足够大，那么Hoeffding不等式就能以PAC的方式，庇佑假设空间中每一个h都不会在D上踩雷，即以PAC的方式保证\(E_{out}(g)≈E_{in}(g)\)；此时，算法A就可以自由选择想要的h作为最终的g，而不用担心选择的h不满足\(E_{out}(g)≈E_{in}(g)\)；（换句话说，只要M和N达到1.4.4节的要求，就能以PAC的方式保证\(E_{out}(g)≈E_{in}(g)\))
- 4.在满足上一条情况下，如果算法A选择了某个h，使得\(E_{in}(g)≈0\)，则可以获得\(E_{out}(g)≈0\)；
- 5.虽然能以PAC的方式保证\(E_{out}(g)≈E_{in}(g)\)，但天有不测风云，万一运气超背踩到雷，则不能保证\(E_{out}(g)≈E_{in}(g)\)，所以训练之后还需要测试，让心里有个底。
大M小M的权衡如下，故当M为无穷大时，能否找到一个\(e^{2Nε^2}\)的低阶无穷大(记为\(X_H\))来代替M，就成了解决第一个核心问题的关键。
- M较小：好处是踩雷概率小；坏处是选择太少，可能无法获得\(E_{in}(g)≈0\)；
- M较大：好处是选择较多；坏处是踩雷概率大。
从踩雷容忍度和踩雷概率的角度来看：
2.1.2 寻找\(X_H\)
几个概念：
- dichotomy(二分类)：一个h对数据集D中N个样本的输出就称为D的一种dichotomy，即\(h(x_1,x_2,...x_n)\)，一个dichotomy就是D的一个划分。很显然，对于二分类问题，任意 Hypothesis Set 对N个样本最多有\(2^N\)种dichotomy，即\(H(x_1,x_2,...x_n)≤2^N\) 。如果Hypothesis Set能将数据集D中N个点分解成\(2^N\)种dichotomies，则称该Hypothesis Set 能 shatter 该D。
- 成长函数(Growth Function)：\(m_H(N)=max|H(x_1,x_2,...x_n)|\)。比如在二维线性分类中，\(m_H(N)\)分别为2(N=1)、4(N=2)、8(N=3)、14(N=4)...。注意：成长函数\(m_H(N)\)是 Hypothesis Set本身的性质，它代表了 Hypothesis Set 最多能将N个样本分成多少种 dichotomy，也就是我们所说的H最多可以归纳成几种 hypothesis(即effective number of hypotheses)。
- 对于确定的H，无论样本怎么变化，只要样本数N确定，最大的dichotomy数量（也就是成长函数的取值）就是确定的。比如对于PLA，\(m_H(3)\)就等于 8 (6和8的最大值是8)。
- 不同的Hypothesis Set有不同的\(m_H(N)\)，例如：
- Break point：当N从某一点k开始，Hypothesis Set 做不出\(2^N\)种 dichotomy(即该假设空间不能shatter数据集中N个点，shatter为全部打散)，这个对我们意义重大的点k就称为Hypothesis Set 的 Break Point。一旦Hypothesis Set出现Break Point点k，则原来增长极快的\(m_H(N)=2^N\)，会被迅速拖住，使得当N=k+1、k+2、k+3...时，\(m_H(N)\)与\(2^N\)差距越来越大。例如在二维线性分类中，\(m_H(N)\)分别为2(N=1)、4(N=2)、8(N=3)、14(N=4)、22(N=5)...
用成长函数\(m_H(N)\)代替\(X_H\)仍然不够理想，因为不同的Hypothesis Set有不同的\(m_H(N)\)，在某些情况(没有Break Point)下，\(m_H(N)\)可以一直取到上限值\(2^N\)，而我们的目的是要找到一个\(e^{2Nε^2}\)的低阶无穷大，且希望\(X_H\)与Hypothesis Set细节无关。
2.2 Theory of generalization
2.2.1 Bounding function
尽管不同的Hypothesis Set有不同的\(m_H(N)\)，但是可以证明，只用一个Break Point即可控制住不同的\(m_H(N)\)上限。记D中样本个数为N，Break Point为k，\(m_H(N)\)上限为B(N,k):
- 当N<k时，\(B(N,k)=2^N\)
- 当N=k时，\(B(N,k)=2^N-1\)
- 当N>k时，\(B(N,k)≤B(N-1,k-1)+B(N-1,k)\) (该情况更常见)
Bounding function(与Hypothesis Set已经无关)可总结为：
上述不等式的右边是最高阶为k-1的N多项式，也就是说成长函数\(m_H(N)\)的上界B(N,K)的上界满足多项式分布poly(N)，这就是我们想要得到的结果。也就是说，如果能找到一个Hypothesis Set的break point，且是有限大的，那么就能通过Hoeffding不等式，利用增大样本数N限制住“踩雷概率”，使得预测准确率和训练准确率的差值超出误差的概率尽可能的小。
2.2.2 VC Bound
事实上并不能简单用成长函数去替换\(X_H\)，在无限假设空间下训练误差和预测误差真正满足的公式长这样(第二行，证明略)：
小结：
- 只要存在break point，那么其成长函数\(m_H(N)\)的上界就是N的k-1阶多项式，是\(e^{2Nε^2}\)的低阶无穷大，因此可以通过VC Bound不等式，利用增大样本数N限制住“踩雷概率”。即只要break point存在，且N足够大，那么就能保证\(E_{in}≈E_{out}\)。
- 若要成功学习，需要四个条件：1.好的D(N足够大)；2.好的H(存在break point)；3.好的算法A(能选出\(E_{in}\)最小的h)；4.一点点运气(不要踩到雷)。
- 注意理解：VC公式中，至少存在一个h踩雷的概率被限制在一定范围。
2.3 VC dimension
核心：根据VC Bound推导结论。
2.3.1 VC dimension 定义
VC dimension定义：\(d_{VC} = k - 1\)，或者说H最大能shatter的D的个数。（数据集D是否可被shatter，取决于：1.\(d_{VC}\)与N的大小关系；2.D的分布P。）
VC dimension是H本身固有的性质。
2.3.2 VC dimension of Perceptrons
若感知机的维度为d，则\(d_{VC} = d+1\)
证明方向：
- 1.证明\(d_{VC} ≥ d+1\)：构造一个特殊的D，内含d+1个样本点，构成的X可逆，则对于任意一种dichotomy，都有对应的解\(w=X^{-1}y\)，即D能被shatter；
- 2.证明\(d_{VC} ≤ d+1\)：对于任意一个有d+2个样本点的D，由于样本点的长度为d+1(包括常数项)，故该X中各样本向量必定线性相关，即存在某一个样本点可用其余向量表示，则当等式两边均乘以某一个\(W^T\)时(一个W对应一个超平面)，该样本点的正负即随之而定，不存在可正可负的情况，即说明d+2个样本点无法被shatter。
2.3.3 VC dimension的意义
意义1：只要存在有限\(d_{VC}\)，且N足够大，那么就能保证\(E_{in}≈E_{out}\)。(不用关心P、f、A的情况。)
意义2：\(d_{VC}\)是H能够shatter的最大个数，表征了H的表达能力。\(d_{VC}\)越大，模型的表达能力就越强，则更有能力选出更小的\(E_{in}\)。
意义3：\(d_{VC}\)越大，模型复杂度越高，踩雷概率变大，VC Bound不等式对复杂度的惩罚(Ω)就越大。即如果要维持踩雷概率δ，保证同样的泛化误差ε，则需要更多的N。(注意δ和ε的关系式)
\(d_{VC}\)是矛盾的中心，\(d_{VC}\)越大，\(E_{in}\)越小，但是\(E_{in}\)和\(E_{out}\)偏差就越大。如果我们希望获得更好的预测表现，并不能一味地追求更大的\(d_{VC}\)，模型复杂度也并非越高越好，控制和选择合适的\(d_{VC}\)是机器学习算法设计非常重要的技巧。
注意：
- \(d_{VC}\)是H能够shatter的最大个数，表征了H的表达能力。\(d_{VC}\)越小，踩雷概率δ越小，但H的表达能力越弱；\(d_{VC}\)越大，H的表达能力越强，但δ越大。
- \(d_{VC}\)表征了二分型H的自由度，大致等同于可调节的独立参数。例如Positive Rays(\(d_{VC}=1\))，Positive Intervals(\(d_{VC}=2\))，感知机(\(d_{VC}=d+1\))
- 下图是关于成长函数、Bound函数、poly(N)。故由VC Bound可知，当存在break point时：\(P(踩雷)≤4(2N)^{d_{VC}}exp(-1/8Nε^2)\)
- 模型复杂度：红色石头笔记说是根号这一坨Ω，但课件上说Ω是对模型复杂度的惩罚，实际上Ω这一坨是泛化误差ε的具体表示。故暂认为模型复杂度为模型的自由度，即可调节的独立参数。
2.3.4 样本复杂度
样本复杂度：N的大小。
那么，如果选定\(d_{VC}\)，样本数据D的容量N选择多少合适呢？
计算结果显示N大约是\(d_{VC}\)的10000倍。这个数值太大了，实际中往往不需要这么多的样本数量，大概只需要\(d_{VC}\)的10倍就够了。N的理论值之所以这么大是因为VC Bound 过于宽松了，我们得到的是一个比实际大得多的上界。宽松原因如下。
值得一提的是，VC Bound虽然比较宽松，但很难进一步收紧。但是，令人欣慰的一点是，VC Bound基本上对所有模型的宽松程度是基本一致的，所以，不同模型之间还是可以横向比较。从而，VC Bound宽松对机器学习的可行性还是没有太大影响。
2.4 Noise and error
- Noise 来源
- 由于人为因素，正类被误分为负类，或者负类被误分为正类；
- 同样特征的样本被模型分为不同的类；
- 样本的特征被错误记录和使用。
- 之前的数据集是确定的，即没有Noise，我们称之为Deterministic。现在有Noise了，也就是说在某点处不再是确定分布，而是概率分布了，即对每个(x，y)出现的概率是P(y|x)。比如在x点，有0.7的概率y=1，有0.3的概率y=0。数学上可以证明如果数据集按照P(y|x)概率分布且是iid的，那么以前证明机器可以学习的方法依然奏效。P(y|x)称之为目标分布（Target Distribution）。它实际上告诉我们最好的选择是什么，同时伴随着多少noise。
- Error measure：有0-1 err、Squared err等，Ideal Mini Target由P(y|x)和err共同决定，不同的err选出的g可能不一样。
- 实际问题中，对false accept和false reject可能选择不同的权重(犯错严重程度不一样、数据不平衡等)。
