Estimativa de parâmetros de sinal

I. Critérios de avaliação estimados

Suponha que a seja uma quantidade característica de um sinal aleatório estacionário generalizado x(n), $\que$ representando um estimador de a. O desvio estimado pode refletir a proximidade do estimador com o valor real, que é definido da seguinte forma:

$B=E[a-\hat a]=aE[\hat a]$

Intuitivamente, quanto menor for B, $\que$ melhor será a estimativa de a. Em teoria, quando o número de amostras N tende ao infinito, uma estimativa gradativamente imparcial será formada, como segue:

$\lim_{N\to \infty}B=a-\lim_{N\to\infty}E[\hat a]=0$

A variância da estimativa pode indicar o grau de dispersão dos valores estimados em relação à média estimada. A variância estimada é definida da seguinte forma:

$var[\hat a]=\sigma^2_{\hat a}=E\lbrace [\hat aE(\hat a)]^2\rbrace=E[\hat a^2]-[E(\hat a )]^2$

O erro quadrático médio estimado pode refletir de forma abrangente as características da estimativa, que é definida da seguinte forma:

$E[\tilde a^2]=E[(\hat aa)^2]$

Se o erro quadrático médio satisfizer as seguintes condições, é chamado de estimativa consistente, como segue:

Número de amostras $N\para \infty$
$\lim_{N\to\infty}E[\tilde a^2]=0$

2. Estimativas de consenso

Dadas estimativas consistentes, mostre que tanto o viés quanto a variância tendem a zero.

O erro quadrático médio fornecido é simplificado da seguinte forma:

Obtido pela condição:

$E[\tilde a^2]=0$

Então você pode obter:

$B^2+\sigma_{\hat a}^2=0$

O viés e a variância finais disponíveis são ambos 0

Usando $\que$ estimativas que representam um algoritmo, as estimativas para outros algoritmos são expressas da seguinte forma:

$\hat a_1,\hat a_2,\cdots,\hat a_k,\cdots$

Se as seguintes desigualdades permanecerem constantes:

$E(\hat aa)^2\leq E(\hat a_k-a)^2$

A estimativa é chamada de estimativa efetiva.

3. Média estimada

Usando N para representar o número de observações, as amostras de observação da sequência de sinal estacionária x(n) são as seguintes:

$x_0,x_1,\cdots,x_{N-1}$

A partir disso, uma estimativa da média pode ser calculada:

$\hat m_x=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}x_i$

3.1 Viés

Primeiro disponível:

$E[\hat m_x]=E(\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}x_i)=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{ N-1}E[x_i]=m_x$

A partir disso, o desvio pode ser calculado:

$B=m_x-E[\chapéu m_x]=0$

Portanto, este método é uma estimativa imparcial.

3.2 Variância

De acordo com a definição, pode-se obter:

$E(\hat m_x^2)=E[(\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}x_i)(\frac{1}{N}\sum_{j=0 }^{N-1}x_j)]=\frac{1}{N^2}\sum_{j=0}^{N-1}\sum_{i=0}^{N-1}E[x_ix_j ]$

(1) Quando $XI$ e $x_j$ não estão correlacionados entre si, existem:

$E[x_ix_j]=E[x_i]E[x_j]=m_x^2$

Substituindo a fórmula original por simplificação:

Portanto, a variância desta estimativa é:

$\sigma_{m_x}^2=E[\hat m_x^2]-m_x^2=\frac{1}{N}E[x_i^2]-\frac{1}{N}m_x^2=\frac {1}{N}\sigma_x^2$

O seguinte limite pode ser obtido:

$\lim_{N\to\infty}\sigma_{m_x}^2=0$

Portanto, a estimativa é imparcial e consistente.

(2) Quando $XI$ e $x_j$ são relevantes, existem:

$\sigma_{m_x}^2=E\lbrace [\hat m_x-E(\hat m_x)]^2\rbrace$

Uma simplificação adicional pode ser obtida:

Quando a diferença entre i e j é m, podemos obter:

$E[(x-m_x)(x_j-m_x)]=cov(m)$

Como existem Nm pares de amostras de dados separados por m pontos nos N dados, pode-se obter:

Quando há correlação nos dados do sinal, a variância do valor estimado está relacionada à covariância, o que não é uma estimativa consistente.É claro que alterar o valor de N pode melhorar a variância estimada.

4. Variância estimada

4.1 A média é conhecida

Quando a média do sinal $m_x$ é conhecida, a estimativa da variância pode ser calculada como:

$\hat \sigma_x^2=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i-m_x)^2$

Prove que esta fórmula é uma estimativa consistente e imparcial.

desatar:

(1) Primeiro verifique o desvio:

(2) Em seguida, verifique a consistência:

Portanto, a variância estimada é calculada como:

4.2 Média desconhecida

Quando a média estimada é desconhecida, $m_x$ o valor estimado é $\que m_x$ utilizado e a variância pode ser estimada da seguinte forma:

$\hat \sigma_x^2=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i-\hat m_x)^2$

(1) Prove que o desvio é uma estimativa tendenciosa

(2) Modifique a fórmula original para formar uma estimativa imparcial

desatar:

(1)

Obviamente esta é uma estimativa tendenciosa.

(2) A forma de estimativa imparcial é a seguinte:

$\hat \sigma_x^{'2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i-\hat m_x^2)^2$

O seguinte prova que esta fórmula é uma estimativa imparcial:

Obviamente disponível:

$\hat \sigma_x^{'2}=\frac{N}{N-1}\hat \sigma_x^2$

Tomando a média de ambos os lados da fórmula acima, podemos obter:

$E(\hat \sigma_x^{'2})=\frac{N}{N-1}E(\hat \sigma_x^2)=\sigma_x^2$

Então B=0, esta é uma estimativa imparcial.

5. Estimar função de autocorrelação

5.1 Estimativa Imparcial da Função de Autocorrelação

A fórmula de estimativa é:

$\hat r_{xx}(m)=\frac{1}{N-|m|}\sum_{n=0}^{N-|m|-1}x(n)x(n+m)$

Primeiro pode-se calcular:

$E[\hat r_{xx}(m)]=\frac{1}{N-|m|}\sum_{n=0}^{N-|m|-1}E[x(n)x( n+m)]=r_{xx}(m)$

A partir disso, o desvio pode ser calculado como:

$B=r_{xx}(m)-E[\hat r_{xx}(m)]=0$

Portanto, esta estimativa é uma estimativa imparcial.

O cálculo da variância estimada é mais complicado e pode ser aproximado da seguinte forma:

Quando N satisfaz o seguinte, a variância tende a 0:

$N>>m,\quad N\to\infty$

5.2 Estimativa da função de autocorrelação parcial

A fórmula de estimativa é a seguinte:

$\hat r_{xx}(m)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-|m|-1}x(n)x(n+m)$

Primeiro pode-se calcular:

Portanto, o viés estimado é:

$B=r_{xx}(m)-E[\hat r_{xx}(m)]=\frac{|m|}{N}r_{xx}(m)$

Então pode ser calculado:

Se x(n) for um sinal gaussiano real com média zero, a variância estimada é:

Obviamente o seguinte limite pode ser obtido:

Portanto, para um m fixo, $\hat r_{xx}(m)$ y é $r_{xx}(m)$ uma estimativa consistente de.

A fórmula de estimativa da função de autocorrelação parcial encontra a transformada de Fourier:

Para usar a FFT para calcular a convolução linear, x(n) pode ser estendido para uma sequência de 2N-1 pontos, como segue:

Seja l=n+m, pode obter:

A fórmula acima $|X_{2N}(e^{j\omega})|^2$ representa o espectro de energia do sinal finito e, após dividir por N, representa o espectro de potência.

Estimativa de parâmetros de sinal

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