の組み合わせの数を求めるための迅速な方法

高速シーク説明\（\ dbinom {N} { M} \） 方法。

我々が知っている\（\ dbinom {N} { M} \ MOD（1E9 + 7）= \ FRAC {N \倍（N-1）\回\ドット\倍（N-M + 1）} {1 \ 2倍\タイムズ\ DOTS \ M}タイムズ\ MOD（+ 1E9 7）\） 。

発現を促進するために、我々は、セット- \（。。M + 1）\ X = N- \タイムズ（N - 1）\時間\ DOTS \タイムズ（N） （すなわち、右上の分子）、\ 。（Y = 1 \ 2倍\タイムズ\ DOTS \タイムズM \） （即ち、右側分母）。

そして、そこに

\ [\ dbinom {N} {M} \ MOD（1E9 + 7）= \ FRAC {X} {Y} \ MOD（1E9 + 7）\]

フェルマーの小定理の

\ [Y \回^ {（^ 9 + 7 10）-2} \ MOD（10 ^ 9 + 7）= 1 \]

両側を同時にによって（y ^ { - 1} \ \） 与えること

\ [^ {と（10 ^ 9 + 7）-2} \ MOD（10 ^ 9 + 7）= y ^ { - 1} \]

ので\（Y ^ { - 1} \） である\（Yは\）だから、逆であります

\ [\ FRAC {X} {Y} \ MOD（10 ^ 9 + 7）= X \回y ^ {（10 ^ 9 + 7）-2} \ MOD（10 ^ 9 + 7）\]

コードは、実装するのは難しいことではありません。

inline LL qpow(LL a, LL b) //快速幂，用于求逆元
{
    LL res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) res = (res * a) % mod;
        a = a * a % mod, b >>= 1;
    }
    return res % mod;
}

inline LL work(int n, int m) //求 C(n, m)
{
    LL s = 1, c = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i+=1)
        s = (s * i) %mod; //计算分母
    for (int i = n - m + 1; i <= n; i++) 
        c = (c * i) % mod; //计算分子
    return (c * qpow(s, mod - 2)) % mod; //求出值
}

基準の部分からPS AtCoder初心者コンテスト156 Dの問題の説明