今日では、この問題に直面している：$ 1、2、\ドット、nはすべての順列の$、$ N $の合計を考えてみましょう！今、どのように多くの$ K $の相対数は、予選配置を尋ねる順序を指定？
分析
一般性を失うことなく、$ 1、2、\ドットを、指定されたk個$ $ 1、2、\ドット、K $の相対的な順序数である$ $ K。例えば、単語のための、$ N = 5を設定し、K = 2 $、次いで$（1、2、3、4、5）$、$（1、4、3、2、5）$、$（1、5、 3、4、2）が失敗した修飾$および$（3、2、5、1、4）$、$（2、1、4、3、5）$です。
：以下の構成設定手順考える
、\、ドットを第$ 1、2 $ K 順次並んで、そして次に$ K + 1、\ドット、 N $ 配列に一枚ずつ挿入します。まだ$ N = 5、K = 2 $は、例えば、$（1、4、3、2、5）$この構成は、以下の4つのステップにより得られる想像することができる：
$（1,2）\へ（1、3、2）\ \（1、4、3、2、5）$（1、4、3、2）へ。
立証することは困難ではない：配置がそのように条件を満たすように構成され、そして全て満たす配置の条件は、そのように構成することができます。
K + 1つの$ $ K + 1 $位置使用可能$が挿入されたときに、利用可能な$ K + 2 $ $ K + 2 $位置......、N- $ $ $ n番目の位置に挿入された$で挿入されていますオプション。このような構成は、合計$（K + 1）（K + 2）\ドット（N）= N！/ K！$ Aの条件を満たすように見ることができます
スプレッド
N- $会うのすべての順列$ X $（$ K <X $ 1から$ $ \ルN $）は$ 1、2位と、\ドットは、k個の$の番号の前に配置されましたか？
続いアイデアは、構成、$ kの合計を描画することは困難！N！/（K上方に配置 + 1）！= N！/（K + 1）$。
別のアイデアは、量を記述するためにも使用することができる必要：$ X $は配置位置を列挙し、ある
$ N /（K + 1） = \ sum_ {i = 1} ^ {N - K}は、\！ binom {N - I} {K } K（N - K - 1）！$、 すなわち
$ \ sum_ {I = 1} ^ {N - K} \ binom {N - I} {K} = N /！ （（K + 1）！（ NK-1）！）= \ binom {n}は{K + 1} $。
指標はそう$ J、置換を行う= N - I $、 $ M = N - 1 $、 与えるために
$ \ sum_を{J = K} ^ {M} \ binom {J} {K} = \ binom {M + 1 } {K + 1} $。