@atcoder - RNGとXOR @ AGC034F - コードワールド

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乱数発生器は、所与のパラメータA [0 ... 2 ^ N-所定の範囲[0、2 ^ N）における 1]。
発電機が持っている\（\ FRAC {a_iを} { \和A} \）世代iの確率は、それぞれ独立して生成されます。

X、最初のゼロが用意されました。各操作の乱数とXの排他的VまたはVを生成する。テイク

毎回のX数の操作を求めるI∈[0、2 ^ N）は、最初に等しいiが望ましいです。

オリジナルタイトルタイトル顔。

@解決@

期待がDP考えにくいです。DPの定義[i]を表し、iは、所望の回数に達し、その後：

\ [DP [0] = 0 \\ DP [I] =（\ sum_ {J = 0} ^ {2 ^ N - 1} DP [J] \回P [I \ oplus J]）+ 1 \]

前記\（P [I] = \ FRAC a_iを{{} \} A SUM \）。

シンプルなアプローチは、ガウスの消去法にあります。どうやらませんでした。
図構造を使用して、ガウス消去の日常的な最適化のための転送が、転送グラフの問題（例えばDAG、ツリー又はチェーンのように）完了し、できません。

方法は？構造の転送タイプを観察し、それが実際にXORの畳み込みであることがわかりました。我々はセットその生成機能を取るしようとして。

表記生成機能場合、と呼ぶことができる\（DP \ Oplus P + I = DP + K \時間T \）、\（I [I] = 1 、T [I] = [I = 0] \）、\ （Kは\）は不明です。
n = 0の畳み込みが確立されていない場合、の終わりに記入する必要があることに注意してください\（K \時間T \）。

与える形状可変ビット\（ - P）= I - DP \ Oplus（T K \時間T \）を、両面が同時にFWT得る\（DP '\時間（T - = I ' - K \時刻T' P'）を\）。

注目' - \（（T P） \）に0は、（定義によりFWTと理解される）は常にされる、0である- （K \回I \' T「\） 0のはこれによって、また0でありますこれは、kについて解くことができます。

しかし、この方法は、私たちが知らない\（DP「[0] \ ）もう一度、未知数qを設定されているどのくらい。ときは、それを代入し、未知での動作に逆変換します。

次に\（DP \）シリーズを含むQの線形関数として表すことができ、に従って\（DP [0] = 0 \） Q逆について解くことができるので、\（DP \）溶液上に一連。

@acceptedコード@

#include <cstdio>

const int MOD = 998244353;
const int INV2 = (MOD + 1) >> 1;

int add(int x, int y) {return (x + y >= MOD ? x + y - MOD : x + y);}
int sub(int x, int y) {return (x - y < 0 ? x - y + MOD : x - y);}
int mul(int x, int y) {return 1LL*x*y%MOD;}

int pow_mod(int b, int p) {
    int ret = 1;
    for(int i=p;i;i>>=1,b=mul(b,b))
        if( i & 1 ) ret = mul(ret,b);
    return ret;
}

struct node{
    int k, b;
    node() : k(0), b(0) {}
    node(int _k, int _b) : k(_k), b(_b) {}
    int get(int x) {return add(mul(k, x), b);}
    friend node operator + (node a, node b) {
        return node(add(a.k, b.k), add(a.b, b.b));
    }
    friend node operator - (node a, node b) {
        return node(sub(a.k, b.k), sub(a.b, b.b));
    }
    friend node operator * (node a, int k) {
        return node(mul(a.k, k), mul(a.b, k));
    }
    friend node operator / (node a, int k) {
        return a * pow_mod(k, MOD - 2);
    }
};

void fwt(node *A, int m, int type) {
    int n = (1 << m), f = (type == 1 ? 1 : INV2);
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int s = (1 << i), t = (s >> 1);
        for(int j=0;j<n;j+=s)
            for(int k=0;k<t;k++) {
                node x = A[j+k], y = A[j+k+t];
                A[j+k] = (x + y)*f, A[j+k+t] = (x - y)*f;
            }
    }
}

node A[1<<18], B[1<<18], C[1<<18], f[1<<18];

int main() {
    int N, M, S = 0; scanf("%d", &N), M = (1 << N);
    for(int i=0;i<M;i++) scanf("%d", &A[i].b), S = add(S, A[i].b);
    S = pow_mod(S, MOD - 2);
    for(int i=0;i<M;i++) A[i].b = sub(i == 0 ? 1 : 0, mul(A[i].b, S));
    for(int i=0;i<M;i++) B[i].b = 1;
    C[0].b = MOD - 1;
    fwt(A, N, 1), fwt(B, N, 1), fwt(C, N, 1);
    int tmp = mul(B[0].b, pow_mod(C[0].b, MOD-2));
    for(int i=1;i<M;i++)
        f[i] = (B[i] - C[i]*tmp) / A[i].b;
    f[0].k = 1; fwt(f, N, -1);
    int x = sub(0, mul(pow_mod(f[0].k, MOD-2), f[0].b));
    for(int i=0;i<M;i++) printf("%d\n", f[i].get(x));
}

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私は練習ファックように感じます。。。しかし、私は知恵が公式の正の解は明らかではないですよ。。。