1グラフ理論の概要
1.1開発の歴史
第一段階：
1736：オイラーは、グラフ理論の父として知られている一筆書きを、勉強するグラフ理論上の最初の記事を掲載しました
1750：最初の定理が提案されているトポロジー、多面体オイラーの公式：V-E + F = 2
第二段階（19〜20世紀）。
1852：フランシス・ガスリーは、4色の問題を作りました
1856：トーマスP.カークマン＆ウィリアムR.Hamilton研究ハミルトニアン
1878：アルフレッド・ケンプは四色定理証明を与えられている特定
1890：Heawood（Heawood）は、既存の四色定理証明を打倒します
1891：ピーターソン（ピーターセンデンマーク）は、グラフ理論の理論的知識の最初の論文を与えます
1936：ゲーニのGe（デネス・ケーニヒハンガリー）は、グラフ理論は、独立した規律になった「チャート有限と無限グラフ理論」グラフ理論モノグラフ上の最初の本を書きました
第三段階（近代グラフ理論）：
1941：FPラムジーは極値グラフ理論を作成します
1959：オルドスとレーニイ図は、（エッジpの存在確率）をランダムな理論を紹介
1976：ケネス・アペル＆ヴォルフガング・ハーケンは、コンピュータに4色の問題は、その究極の証拠を使用します
1.2参考資料
JAボンディとUSR Murty、エルゼビア、1976 - アプリケーションとグラフ理論
「グラフ理論とその応用」の古典的な教科書、呉王の名の翻訳、電子版
グラフ理論 - JAボンディとUSR Murty、スプリンガー、2008
「グラフ理論」GTM244、それは第二版、推奨教科書「アプリケーションでグラフ理論」とみなすことができます
グラフ理論、第五 - レインハード・ディエステル、スプリンガー、2017
「グラフ理論」GTM173、電子版
グラフ理論、2nd-ダグラスB.西、2017入門
入門教科書
図2に示すように、初期のナレッジグラフ
（注：一般的な考慮事項単純グラフ（NOグラフループまたは複数のエッジ）、及び2以上のオーダー）
図2.1ルール
定義：
図不規則な不規則な：すべての頂点に同じ
図不規則ほぼ殆ど不規則：頂点の同じ唯一の対
定理：
1）不規則図不在
2）正確約2不規則な図と、図の同じ順序が互いに補完がある（同じ頂点は、エッジが一緒に完全グラフです）
3）任意の正の整数の場合、N組の最大値、注文の存在下、N、図中+ 1であり、それは頂点の整数に正確に等しいです。
（結論は、上記適用されず、複数の図は、グラフ重み付け）
2.2正則グラフ
定義：
正則グラフは、R-定期：すべての頂点のためのRであります
（0-正規単に単一の点に接続し、1-正規の通信は、単一の側を示す図で、2正規の通信がある単環、3-正規キューブ図単一の通信が参照されます）
定理：
図は、通常のn個の順序は限りrと、存在、nは奇数およびr <= N-1ではないrは
一般的な正則グラフ：
KN：N順序完全グラフ、R = N-1
CN：N（N> = 3）順サークル、R = 2
QN：2 ^ N次（N-キューブ）のハイパーキューブ、R = N
クリプトン、R：2Rための二部
2.3二部図。
定義：
二部グラフ（二部グラフ）：頂点が2つのセットに分割され、2つのだけのセットとの間に接続されたすべてのエッジ。
定理：
Gは、二部グラフGない奇数サイクルである<=>
2.4サブグラフ
図G、サブグラフ（サブグラフ）H
部分グラフ--->スパニングサブグラフ
--->誘発部分グラフ--->頂点削除サブグラフ
同じ頂点にサブグラフ、G及びH：サブグラフにまたがります
誘導された部分グラフ：図エリシター、H = G [S]（グラフから頂点の1つ以上を除去することによって）
頂点削除サブグラフ：頂点の部分グラフは、頂点が図から除去されます。
定理：
任意のグラフはサブグラフ正則グラフとして表すことができます。
図同型と復興
グラフGの所定の部分グラフの頂点全てに行く、一意グラフG（のみ同型）を復元することができますか？問題は未解決
2.5距離
定義
図通信（接続）、図（切断）を通信しない：通信ブランチ（成分）の複数からなります。
カット点（カット頂点）：Gvを比Gは、より多くの連結成分を有しています
橋（ブリッジ）：Geの比Gは、分岐との通信を複数有しています
定理：
図通信Gは、Eは、円<=> G、Vのいずれかの頂点uを存在しない<=> Eブリッジであるので、任意の経路紫外線Eを通る経路
図通信Gは、Wはカットポイントは、V <=>存在するU頂点であるので、任意のパスUV Wを通る経路
定義
頂点のXY間の距離（距離）：全てのパスのxy最小の長さ。
頂点v偏心（偏心）：頂点U VからV遠い距離、Uを遠心分離頂点v（偏心vertix）と呼ばれています
中央頂点：G心拍数の最小の頂点から
2.6ツリー
定義：
ツリー：図の通信リングは、Gが含まれていません
定理：
Gが木である<=> Gの任意の2つの頂点は、唯一つの通信経路を有します
次数nの木は、n-1側面を有します
G内の任意の1辺を追加し、それがループを形成します。
その辺のいずれかを削除し、通信ではなくなります。
Gの任意の2つの頂点は、通信経路内で一意であることができます。
定義：
リーフ（葉）：中等度のツリーノード1
定理：
ツリーには、少なくとも2つのノードがあり
ツリーの各ノードは、ルートとして使用することができます
定義：
スパニングツリー（グラフにまたがる）：G TのサブグラフはツリーはGのスパニングツリーTと呼ばれている生成
最小スパニングツリー：最小スパニングツリーエッジの加重和
詐欺師は、最小スパニングツリーアルゴリズムを使用して生成することができます
詐欺師は、アルゴリズム：最小の右端を選択しますが、フォーメーションラップを保証するものではありません。
3、図トラバーサル
定義：
頂点の順序のために（V1、V2、...、VK）
パッセージ（徒歩）--->パス（パス）--->リング（サークル）
| |
V V
--->トレース（軌跡）--->ループ（回路）
クローズの意味：V1 = VK
散歩：すべてのサイドV_I-V_I + 1がグラフであり、
パス：サークルのためのすべての頂点が繰り返されていない、クローズドパス
トレイル：再閉鎖可能トレイル回路の全てではないエッジ。
注：パス - >道、円 - >回路
3.1オイラー問題（オイラー経路、全てのエッジを繰り返すことができない横断）
オイラーサイクル（オイラー回路）：Gは、回路のすべてのエッジが含まれてい
オイラートレース（オイラートレイルまたはオイラーツアー）：Gは、トレースのすべてのエッジが含まれています
Gはオイラーやオイラーを通信している：Gはオイラーが含ま
定理：
Gはオイラーの連結グラフである<=>各頂点が偶数である（注：図倍数Gは、であってもよいです）
オイラー<=>軌跡グラフGは、ちょうど二つの奇数の頂点である含む通信グラフG（注：図Gは、頂点の開始と終了から複数のオイラー2奇数トラックであってもよいです）
3.2中国の郵便配達問題（すべてのエッジを繰り返すことができるを通じて）
定義：
オイラー経路：近いパスGの全てのエッジの最短スルー
その結果、各頂点の偶数ことは、頂点の奇数倍のエッジを追加：のパスを見つけるためのオイラー法
定理：
オイラー経路は、（：オイラー図ブリッジ複製複数応力を言うことであることに注意）にGを介して2つの橋渡しをする必要があります
注：重み付きグラフ同様のアイデアを解決することができます
3.3、ハミルトン問題（全ての点を通って繰り返すことができません）
定義：
ハミルトニアンサイクル：リングのすべての頂点の後、リングはハミルトン図なることを含みます。
いかなる理論は正確にグラフがハミルトニアンであるかどうかを判断することはできませんが、以下の結論があります
定理：
、その後、Gはハミルトングラフであり、Gが> = N / 2の各頂点の次数nのグラフとします。
オーダーの（Orrの定理）グラフG N Nに等しい度以上と大きいの一対の非隣接頂点場合、Gはハミルトン図です。
Gはハミルトン図であるならば、最もkにおける含む連結成分を残りのG、図の任意のk個の頂点を除去する工程と
3.4巡回セールスマン問題（すべての点を通るが、繰り返すことができます）
TSP（巡回セールスマン問題）、最適化されたアルゴリズム
4、及び図マッチング分解
4.1試合
（研究二部マッチング問題は、図中2つの要素を設定します）
定義：
マッチング（整合）と呼ばれ、互いに隣接する辺の集合からなる（一致する概念は、図面の全てにおいて使用することができます）
異なる代表：N空でない、それぞれがn個の要素から異なっていてもよく、要素の集合を選びます。したがって、対応する二部グラフ（ラインのセットと頂点素子部グラフのセット）サイズを含むn一致のに相当異なるラインの代表的なラインのセットがあります。
定理：
（ホール定理）
nは、非空行は、独立して、kの存在<=>異なるセットを表し、より少ないk個の要素（k = 1、...、N）よりも含んでいます。
定義：
最大マッチング：M Gは、最も整合エッジに含まれています
パーフェクトマッチ：Gマッチカバーすべての頂点（N / 2のn次図のサイズの完全マッチ）
定理：
KO（G）は奇数次Gに分岐通信の数を表し、|（テイト定理）<=> Gは、頂点Sの任意のサブセットのための完全な一致を有するK0（GS）<=である| S
1-定期的なグラフが完璧にマッチしています
各通信のための完全な一致を有する2-正則グラフ<=> Gが偶数次ブランチ環であります
各ブリッジのキューブ図の完全一致を含む3正則グラフ（図キューブ）（ピーターソン定理）
4.2正則グラフの1-因数分解
定義：
1-Nサブグラフを生成するが、Gと呼ばれる1 -factor図。
図のエッジが複数に分割さGが表されてもよい1- Gとして知られている因子グラフ、セット1 -factorビューを分解しました
定義によって、各因数分解の1-図にも注文が通常のR-図でなければなりません。
注：いないその逆、例えばPeters図（図10オーダー3-N）に代えて1-分解図。
定理：図因子の偶数次完全分解図は1です。
推測：Gは、通常の順序のグラフN R-およびr> = N / 2である場合、Gは1分解図です。R 1 -factor図に分解することができます。
4.3正規分解図2-（リング分解）
定理：
（ピーターソン所与プルーフ）Gは、2- <=>ファクターGは、通常のR-の分解図は、rが偶数です。
完全グラフの分解定理（2012アル芝の推測以前、証明）
（ブライアント - ホースリー - ピーターソン定理）
1、nは奇数（N> = 3）であり、M1 + M2 +···+ MT = N（N-1）/ 2、knはCm1を、cm 2であり、...、CMTに分解することができます。
2、nは偶数（N> = 4）、M1 + M2 +···+ MT = N（N-2）/ 2であり、KN-Mは、Mは、の完全KnとなるCm1を、cm 2であり、...、CMT、に分解することができます試合;
当然の結果：nは奇数であり、m =がNで割り切れる（N-1）/ 2、次いでKnとは、分解図CM-あります。
推論は、次にN =奇数、Knとは、分解図因子ハミルトンある（ハミルトン各円は、円です）
アプリケーション：
シュタイナーの三元（シュタイナートリプルシステム）の問題
n個の要素、（トリプルと呼ばれる）は、3つのグループの各要素、三重の各要素を正確に収まる、このパケットは、三元スタイナー呼ばれ
Knのと同等のは、C3の複数に分解されます
5、図塗装（グラフ、交差点）
定義：Gは、平面内に描くことができるし、2つのエッジがGの平面図（平面図）と呼ばれるように、任意の交差しない場合、平面の平面図は、図1に示した平面上に装着することができる映像番組は、得られた（平面埋め込み） ;
スリーハウスと3つのユーティリティ問題は、平面図に相当することはできませんK3,3
多面体オイラー方程式：V-E + F = 2
多面体の平面図は、平面に形成さ多面体上に投影することができます
オイラー方程式：Gは、n頂点、m本のエッジは、R領域と、図通信埋め込み計画で、N-M +、R = 2
定理：プランG、その後、M <= 3N-6、nは次数、mはエッジの数であります
当然の結果：各頂点はせいぜい5度の平面図が含まれています。
（次の2つの定理と等価）
クラトフスキー定理：Gは、図の平面図である<=> Gは、K5及びK3,3サブグラフなどの分子の断面図を含みません。
注：分子を得図の頂点2の（0であってもよい）、任意のエッジグラフG基の挿入は、図1の断面Gと呼ばれます。
ワグナー定理：Gは、図の平面図であり<=> K5とK3,3がサムネイルGはありません。
注：頂点のエッジ収縮のグラフG、重複する頂点と辺を削除し、サムネイル画像ショー形成（図スプリット、次いでHサムネイルGです）
サムネイル定理：図のグラフの無数を含む任意のセットについて、サムネイルは、図1の別の図であるが存在しなければなりません。
定義
Gプレーンに描画された図、交差数CRによって生成されたクロスポイントの最小数は、グラフG（G）（交差数）をいいます
平面上に描かれた直線グラフG、数cr_グラフG（G）（直線交差数）と呼ばれる直線セグメントを交配することによって生成されたクロスポイントの最小数
定理：CR（G）> = M-3N + 6
CR（Knの）<=¼フロア（N / 2）床（（N-1）/ 2）床（（N-2）/ 2）床（（N-3）/ 2）、式中、n <= 12、平等は、上記式に保持します
（方法定理に）プランは、線画、すなわちcr_（G）= 0とは交点なくてもよいです
6、着色パターン（着色頂点、辺彩色）
四色定理：各頂点の平面図では、4つの以下の色、異なる色と隣り合う頂点に着色することができます