いくつかのドメイン$ D \サブセットR ^ nは$、意味で定義された非負関数で、$ U $、与えられました
$$ \ラムダ（U）= \ {X \ Dで、U = 0 \}、\オメガ（U）= \ {X \ Dで、U> 0 \}、F = F（U）= \部分\ラムダ\キャップ\部分N。$$
私たちは、uは関数の集合がP_r（0 <R <\ inftyの）$は次のように定義された$ $ P_1 $に属し機能を$ $のために、$ F（u）の原点で$の規則性の性質を研究中でinterstedています次のとおりです。
$場合P_r（M）で\ uと$
（）$ U \ Cにおける^ {1,1}（B_R）$、$ \ SUP \ limits_ {B_R} | D_ {IJ} U | M $当量（任意の二つの方向のために$ \ I、Jの$、ではありません必ずしも直交）
（b）は$ U \ GEQ 0 $、Fで$ 0 \（U）$、
（C）$ \デルタuが$ \オメガ（U）で$ 1 =。$
$ \ラムダ（U）$は、原点に、$ F非常に "薄い" でない限り、主な定理は、（u）は$は、それのneiborhoodで、$ C ^ 1つの$関数とinparticular $のグラフである、です$ Uは$ \上線{\オメガ} $で$ C ^ 2 $です。
より正確には、我々は$ S $をストリップにcontaindされるように平行超平面の対の間の距離のinfimumとして（境界）を設定$ S $（$ MD（S）$）の最小直径を画定するそれらによって決まります。
我々は、数量によって$ B_R $で$ \ラムダ（U）$の薄さを測定します
$$ \ delta_r（\ラムダ）= \ FRAC {MD（\ラムダ\キャップB_R）} {R}。$$
通知その$$ 2 \ GEQ \ delta_r（\ラムダ）\ GEQ C \ FRAC {| \ラムダ\キャップB_R |} {| B_R |}。$$