問題の意味
所与\（Q（\当量10 ^ 5）\） クエリ、各クエリ4つの数字\（K、L、R、 P（K \当量^ 6〜10、0 \当量L \当量R \当量10 ^ P \のLeq 10 ^ 9）{18である} \）、\ （P \）品質の数であり、
\ [LCM（K ^ {2 ^ L} + 1、K ^ {2 ^ {L + 1}} + 1、...、K ^ {2 ^ R} +1）\％P \]
私の問題解決プロセス
法律を見つける再生テーブルまで、見つけるために驚い
\ [GCD（K ^ {2 ^ X} + 1、K ^ {2 ^ {X + Y}} + 1）= \ {ケース} 1＆K \テキストを{始めますであっても} \\ 2＆K \
テキストは{奇数} \\\端{ケース} \] 次に、当然のことながら、に応じて\（LCM（A、B） = \ FRAC {AB} {GCD（A、B）} \ ）で
[回答= \開始{ケース\ } \ PROD \ limits_ {iは= L} ^ R（K ^ {2 ^ I} +1）＆K \テキスト{ても} \\\ FRAC {\ PROD \ limits_ {iは= L} ^ R
（K ^ {2 ^ I} +1）} {2 ^ {RL}}＆K \テキスト{奇数} \\\端{ケース} \] ルック\（P = \のProd \ limits_ {I} = ^ R＆LT L（{Kは^ I ^ 2} + +1）\）。
\ [\}（{2 ^ K {ALIGN = P＆左=（K ^ L ^ {2} + +1）開始^ {L + 1}} + 1）...（K ^ {2 ^ R} +1）\\＆=（{（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ {2 ^ 0} + { （K ^ {2 ^ {1 }}）} ^ {0}）（{（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ {2 ^ 1} + {（K ^ {2 ^ {1}}） } ^ {0}）...（ {（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ {2 ^ {RL}} + {（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ {0}） \\＆=（{（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ {（001）_2} + {（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ {0}）（{（K ^ { 2 ^ {1}}）} ^ {（010）_2} + {（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ {0}）...（{（K ^ {2 ^ {1}}） } ^ {（10 ... 0） _2} + {（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ {0}）\\\端{ALIGN} \]
ビューのバイナリ法は、その後、すべての乗りアウト場合、存在することである\（RL \）のバイナリビット、各ビットは、0又は1であることができます。したがって
\ [{ALIGN} P開始\ ＆= \和\ limits_ {J = 0} ^ {2 ^ {R-L + 1} -1} {（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ J \\ ＆= \ FRAC {{（K ^ {2 ^ L}）} ^ {2 ^ {R-L + 1}} - 1} {K ^ {2 ^ L} -1}＆K \ない= 1 \\ ＆= \ FRAC {K ^ {
2 ^ {R + 1}} - 1} {K ^ {2 ^ L} -1}＆K \ない= 1つの\\\端{ALIGN} \] オイラーの定理によって\ （GCD（K、P）\ていない= 1 \） 、すなわち\（K \％P \ない = 0 \） 場合、\（K ^ {2 ^ L} \当量のK ^ {2 ^ L \％（P -1）}（MOD \ P）\）。したがって、この\（Kは\）も非常に高い電力需要、古いルーチンです。\（P | K \） 、明らかに\（K ^ {2 ^ L } -1 \当量のK ^ {2 ^ {R + 1}} - 1 \当量（-1）（MOD \ P）\ ）、および\（GCD（K ^ 2 ^ {-1} L、P）= 1 \）ので、明らかに、\（P = 1 \） 。
残りの場合に、\（GCD（K ^ 2 ^ {-1} L、P）= 1 \）も非常に良好であるときに係合さ、直接反転さがライン上で行います。しかし\（GCD（K ^ {2 ^ L} -1、P）\ない= 1 \） すなわち\（P |（K ^ { 2 ^ L} -1）\） 、逆は存在しないため、状況は少し複雑です。こうして観察し、以下の式構築：
\ [^ {K ^ {2}} 1 R＆LT + - 1 =（L ^ K ^ {2} -1）（2 ^ {K ^ 1} + {R＆LT -2 ^。 L} + K ^ {2 ^ {R + 1} -2 * 2 ^ L} + K ^ {2 ^ {R + 1} -3 * 2 ^ L} + ... + K ^ {2 ^ {rを+1} -2 ^ {R-L
+ 1} * 2 ^ L}）\] 明らかに\（T = K ^ {2 ^ {R + 1} -2 ^ L} + K ^ {2 ^ {R + 1} -2 * 2 ^ L} + K ^ {2 ^ {R + 1} -3 * 2 ^ L} + ... + K ^ {2 ^ {R + 1} -2 ^ {R-L + 1} * 2 ^ L} \ ） 私たちが望む結果です。
\ [開始\ {ALIGN} T ＆= K ^ {2 ^ {R + 1} -2 ^ L} + K ^ {2 ^ {R + 1} -2 * 2 ^ L} + K ^ {2 ^ {rを+1} -3 * 2 ^ L} + ... + K ^ {2 ^ {R + 1} -2 ^ {R-L + 1} * 2 ^ L} \\＆= K ^ {2 ^ { R + 1}}（\ FRAC {1} {K ^ {2 ^ {1}}} + \ FRAC {1} {{（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ 2} + \ FRAC {1 } {{（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ 3} + ... + \ FRAC {1} {{（K ^ {2 ^ {1}}）} ^ {2 ^ {R-L +1}}}）\\＆= K ^ {2 ^ {R + 1}}（\ FRAC {1} {K ^ {2 ^ {1}}} +（\ FRAC {1} {K ^ {2 ^ {1}}}）^ 2 +（\ FRAC {1} {K ^ {2 ^ {1}}}）^ 3 + ... +（\ FRAC {1} {K ^ {2 ^ {1} }}）^ {2 ^ { R-L + 1}}）\\\端{ALIGN} \]
ための\（P |（K ^ L ^ {2} -1）\） 、すなわち\（K L ^ 2 ^ {} \当量1（MOD \ P）\） 、見つかった（\ GCD（K ^ {2 ^ L}、P）= 1 \）、したがって\（\ FRAC {K ^ { 2 ^ {R + 1}}} {K ^ {2 ^ L}} \当量のK ^ {2 ^ {R + 1} }（MOD \ P）\） 。従って、明らかである
\ [\開始{ALIGN} T ＆\当量のK ^ {2 ^ {R + 1}}（1 + 1 + 1 + ... + 1）（MOD \ P ）\\＆\当量のK ^ {
2 ^ {R + 1}} 2 ^ {R-L + 1}（MOD \ P）\\\端{ALIGN} \] 簡単にするために解決することができる（\ Tを\ ）。この問題は以上です。
反射
1.なぜ
\ [GCD（K ^ {2 ^ X} + 1、K ^ {2 ^ {X + Y}} + 1）= \開始{ケース} 1＆K \テキスト{ても} \\ 2＆K \ テキストは\\\端{{奇数である}
の場合は} \] を見て、説明を公式に示されている\（Y = 1 \） 、非常に巧妙実証しました。
セット\（D = GCD（K ^ {2 ^ X} + 1、K ^ {2 ^ {X + 1}} + 1）\） 。したがって\（K ^ {2 ^ X } \当量-1（MOD \ D）\） 。乗に与える\（K ^ {2 ^ {X + 1}} \当量1（MOD \ D）\） 。しかし、\（kは^ {2 ^ { X + 1}} \当量、1 （MOD \ D）\） 、我々は唯一持つことができる（D \ leq2 \）\。再び（K \）\パリティ議論は結論付けることにします。
2.実際には、議論の最後の段落は、私は回り道を選びました。観察された（^ 2 ^ {} \当量1（MOD \ P）\ K L）\、それが存在することは明らかである\（P \当\和\ limits_ {J = 0} ^ {2 ^ {R-L + 1 } -1} {（K ^ { 2 ^ {1}}）} ^ J \当量2 ^ {R-L + 1}（MOD \ P）\） 。