ディレクトリ
概要
\ [\ sum_ {I = 1} ^ nは{I} = \ FRAC {N（N + 1）} {2} \]
\ [\ sum_ {i = 1} ^ {n}は{I ^ 2} = \ FRAC {N（N + 1）（2N + 1）} {6} \]
\ [\ sum_ {i = 1} ^ {n}は{I ^ 3} = \ FRAC {N ^ 2（N + 1）^ 2} {4} \]
ウィル\（^ 1のx + 2 ^ X + 3 ^ X + \ cdots + N \ ^ x）が、それは何式ですか？
加算式\（\和\ limits_ {iは = 1} ^ nは{I} \） 式の
\ [1 + 2 + 3 + 4 + 5 \ cdots + N = \ sum_ {i = 1からN} ^ {I} = \ FRAC {N（N + 1）} {2} \]
この式中：
\（1 + 2 + + 5 4 3 + \ N-cdots + \。） ：と呼ばれることも元デマンド式
\（\ sum_ 1} ^ {N-Iは、= {I} \。） ：呼ばれる速記式タイプ（短い形式）、すべての元の要件が長すぎるそのように書きたくない人の後。
$ \ FRAC {N（N + 1）} {2} $： 既知の式、最終形態の式の値は、次式により求めることができます
単純に合計することを証明する方法\（\合計\ limits_ {私は ^ 1 =} N {I} \） 式のは、{n（nは+ $ \ FRACである 1）}、{2} $ それ？
証明：
\ [起因する：（N-+ 1）。^ ^ N-2 + 2 = 2N + 1 \]
\ [得る（N + 1）^ 2N ^ 2 = 2N + 1つの\クワッド\ cdots 式（N）\ ]
\ [^ N-2-（N - 1）^ = 2 2（N - 1）+ +1 \クワッド\ cdots式（1-N-）\]
\ [\ cdots \ cdots \]
\ [^ 2-2。3 ^ 2 = 2 \ times2 + 1 \クワッド\ cdots 式（2）\]
\ [^ 2 ^ 2-1 = 2 2 \ times1 + 1 \クワッド\ cdots式（1）\]
一緒に式（n）は、式（1）の式を有する：
\ [（+ N-1）^ 2 ^ 2-1 = 2（1 + 2 + + 3 \ N-cdots +。）= N-2 + \ sum_ { = 1} ^ N-I {I}のn + \]
\ [^ N-2 \ sum_の+ 2 = 2N + 1-1。1 = {I} {I} ^ N-N - + \]
\ [\ sum_。1 = {I } ^ nは{I} = \ FRAC {N（N + 1）} {2} \]
第二に、合計\（\和\ limits_ {iは = 1} ^ nは{I ^ 2} \） 式の
\ [1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 \ cdots + N ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ nは{I ^ 2} = \ FRAC {N（N + 1 ）（2N + 1）} {6} \]
単純な加算式を証明する方法（合計\ limits_ {iが\ \ ^ nは{I ^ 2} \ = 1}） 式のは$ \ FRAC {N（N +である 1）、（2N + 1）} {6} $ それ？
証明書：
\ [（N + 1）3 N ^ = ^ 3と3N + \と3N ^ + 2 1]
\ [^ N-3-（N - 1）。3 = ^ 3（N - 1）。3 ^ + 2（N- 1）+ +1 \]
\ [\ cdots \ cdots \]
\ [（3）。3 = ^ 3-2 3 ^ \ ^ 2 + times2。3 \ times2。1 + \]
\ [（2）^ 3-1 ^ 3 = 3 \ times1 ^ 2 + 3
\回+ 1 \] （n）は式一緒になって式（1）の式を有する：
。\ [（N-1 +）= ^ 3-1 ^ 3 3 \タイムズ（1+ 3 ^ 2 ^ + 2 + 2 4 3 + ^ \ ^ cdots + N-2）+3 \タイムズ（+。1. 4. 3 + 2 + + \ + N-cdots）N - + \]
\ [= 3 \ sum_ {I = 1} ^ {n}は{I
^ 2} +3 \回\ FRAC {N（N + 1）} {2} + N \] このようにして得られた
：。\ [\ sum_ 1 = {I} {I} ^ {N- ^ 2} = \ FRAC {N （N + 1）（2N + 1）} {6} \]
第三に、合計\（\和\ limits_ {iは = 1} ^ nは{I ^ 3} \） 式の
\ [1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + 5 ^ 3 \ cdots + N ^ 3 = \ sum_ {I = 1} ^ N {iが^ 3} = \ FRAC {N ^ 2（nは+1）^ 2} {4} \]
単純合計することを証明する方法\（\合計\ limits_ {私は = 1} ^ nは{I ^ 3} \） 式のを$ \ FRAC {N ^ 2（である N + 1）^ 2} {4} $ それ？
証明書：
\ [（N + 1）。4 ^ = ^ 4N 4N 3 ^ + ^ 2 + 6N 4N + 1 \]
\ [（N-）^ 4-（1-N-）= ^。4. 4（1-N-）^ +。6. 3（N - 1）^ 2。4 +（1-N-）+ +1 \]
\ [\ cdots \ cdots \]
\ [^ 4-2 ^。4. 3. 4 = \ times2。6 + ^ 3 \ 2 ^ times2 +4 \ times2 + 1 \]
\ [^ 2 ^ 4-1。4. 4 = \ ^ times1。6. 3 + \ ^ 2 + times1。4 \ times1 + 1 \]
式に添加（n）は式（1）式そこアップ：
\ [（N + 1）4 ^ 4-1 ^ = 4 \タイムズ（1 + 2 3 ^ + ^ 3. 3. 3 ^ + \ ^ N-cdots + 3。。。）+6 \タイムズ（1 + 2 ^ 2。。。 3 ^ 2 + 2 ^ + \ ^ cdots + N-2）+4 \タイムズ（+。1. 4. 3 + 2 + + \ + N-cdots）N - + \]
\ [4 = \タイムズ\ sum_ 1} = {Iは^ {N} {I ^ 3} +6 \回\ FRAC {N（N + 1）（2N + 1）} {6} +4 \回\ FRAC {N（N + 1）} {2} + N \ ]
そのようにして得られた：
\ [{（N-+ 1）。N-2 4 ^ {2}} \ sum_ 1 = {I}} ^ {N- = {I} 3 ^ \ FRAC ^ \]