リニアプログラミング
標準リニア・プログラミング
リニアプログラミングモデル（LP）
- 決定変数のセット
- 線形目的関数
- 線形制約のセット
一般形式：
\ [\分（\ MAX）\ sum_ {i = 1} ^ {N}、C_ {I} X_ {I} \\ ST \左\ {\開始{アレイ} {C} {A_ {11} X_ {1} + A_ {12} X_ {2} + \ cdots + A_ {1、N} X_ {N} \ GEQ（=、\ 1当量）B_ {1}} \\ {A_ {21} X_ {1} + A_ {22} X_ {2} + \ cdots + A_ {2 N} X_ {N} \ GEQ（=、\ 1当量）B_ {2}} \\ {\ cdots} \\ {A_ {M 1} X_ {1} + A_ {M 2} X_ {2} + \ cdots + A_ {MN} X_ {N} \ GEQ（=、\ 1当量）B_ {M}} \\ {X_ {I} \ GEQ（= \ 1当量）0、I = 1,2、\ cdots、N} \端{アレイ}右\。\]
标准型：
\ [\最大の\ sum_ {i = 1} ^ {N}、C_ {I} X_ {I} \クワッド\テキスト{ST} \左\ {\開始{アレイ} {C} {A_ { 11} X_ {1} + A_ {12} X_ {2} + \ cdots + A_ {1、N} X_ {N} = B_ {1}} \\ {A_ {21} X_ {1} + A_ {22} X_ {2} + \ cdots + A_ {2 N} X_ {N} = B_ {2}} \\ {\ cdots} \\ {X_ {I} \ GEQ 0、I = 1,2、\ cdots、nは} \端{アレイ}右\。\]
其中、记\（C = \左（C_ {1}、C_ {2}、\ cdots、C_ {N} \右）^ {T}、B = \左（B_ {1}、B_ {2}、\ cdots、 B_ {M} \右）^ {T}、X = \左（X_ {1}、X_ {2}、\ cdots、X_ {N} \右）^ {T}、\ boldsymbol {A} = \左（A_ {IJ} \右）_ {N Mの\回} \） 、则线性规划标准型记为
\ [\開始{アレイ} {1} {\最大\クワッドC ^ {T}、X} \\ { \テキスト{ST} \左\ {右\ \開始{アレイ} {1} {A、X = B} \\ {X \ GEQ 0} \端{アレイ}。} \端{アレイ} \]
標準の
目的関数
オリジナル目的関数：\（\分\クワッドC ^ {X} T \クワッド\ RIGHTARROW \最大\クワッドC ^ {X} T \）
制約
元の問題の条件：\（A_ X_ {I} 1 1} {2} + I {A_ X_ {2} + \ A_ N-X_ {}内cdots {+} \ {I}のLeq B_ \）
\（\ RIGHTARROW \左\ {\開始{アレイ} {C} {A_ {I 1} X_ {1} + A_ {iは2} X_ {2} + \ cdots + A_ {における} X_ {N} + X_ {N + I} = B_ {I}} \\ {X_ {N + i}は\ GEQ 0} \端{アレイ}右\ \）、 \（X_ {N + I} \）称为松弛变量
元の問題の条件：\（A_ X_ {I} 1 1} {2} + I {A_ X_ {2} + \ A_ N-X_ {}内cdots {+} \ {I} GEQ B_ \）
\（\ RIGHTARROW \左\ {\開始{アレイ} {C} {A_ {I 1} X_ {1} + A_ {iは2} X_ {2} + \ cdots + A_ {X_}に{N} -x_ {N + I} = B_ {I}} \\ {X_ {N + i}は\ GEQ 0} \端{アレイ}右\ \）、 \（X_ {N + I} \）称为剩余变量
オリジナル問題：\は（X_I \）負の制約以外の何ものでもありませんし、しましょう\（\左\ {\始める - \ boldsymbol {V {整列} \ boldsymbol {X} _ {I}＆= \ boldsymbol {U} _ {I} } _ {I} \\ \ boldsymbol {U} _ {I} \ boldsymbol {V} _ {I}＆\ GEQ \ mathbf {0} \端{整列} \右。\）
グラフィカルな方法
- 実行可能領域の範囲を描きます
- 輪郭点を用いて、パンニング方法極値
LPソリューションのコンセプトと自然
\ [\開始{アレイ} {C} {（LP）\クワッド\最大\クワッドZ = C ^ {T}はX \クワッド（1）} \\ {\テキスト{ST} \左\ {\開始{アレイ右\} {CC} {A、X = B}＆{\テキスト{（2）}} \\ {X \ GEQ 0}＆{\テキスト{（3）}} \端{アレイ}。} \端{アレイ} \]
実現可能な解決策：を満たす（2）（3）溶液の\（X =（X_1、X_2 、...、x_nに関する）^ Tを\） と呼ばれている\（（LP）\）実現可能な解
可能領域：\ （D = \ {X | A = B X、X \ GEQ 0 \} \）
- 線形計画問題可能領域\（Dは\）凸集合であります
線形計画ソリューションの概念
グループ：みましょう\（\）の\（m個の\ n倍\）係数行列、ランク\（m個\） 。場合\（B \）の\（\）の\（Mの\回数M \）非縮退サブアレイ順序は、と呼ばれる\（B \）の\（\） （または\（（LP）\ ）問題）ベース。
- 非縮退部分行列：「非排他的なマトリックス」「フルランク行列」行列式として知られている\（| A | \ NE0 \） 。\（N- \）正方行列\（\）非縮退のための必要十分条件\（\）は正則行列です。
基底ベクトル：うグループ\（\ boldsymbol {B} = \左（\ boldsymbol {P} _ {iは1}、\ boldsymbol {P} _ {iは2}、\ cdots、\ boldsymbol {P} _ {IM} \右）\）と呼ばれる（\ \ \（左boldsymbol { P} _ {iは1}、\ boldsymbol {P} _ {iは2}、\ cdots、\ boldsymbol {P} _ {IM} \右）\ ）基底ベクトルの。
イル変数：\（\ boldsymbol {P}} _ {IM \）は変数に対応する\（x_m \）変数は、変数が非イル基変数と呼ばれていません。
塩基性溶液：グループは線形プログラミングにある\（B \）非イル変数は、0を取るように、\（\左（B ^ { - 1} B、0 \右）^ {T}は\）のグループに対応する（\ Bの\）基本的なソリューションを提供します。
基本的な実現可能な解決策は：線形計画満たすために\（（LP）\）の基本的な実現可能な解決策の問題の条件（3）の根本的な解決を。
- 線形プログラミング（（LP）\）\問題の溶液\（X \）は基本的な実行可能解に十分な条件であるである\（X \）は、可能領域である\（D \）頂点
シンプレックス法
アルゴリズムの考え方
あなたが最適解を見つけるまで、次の基本的な実現可能な解決策にスキップしていない場合、それが最適解であるかどうかを決定し、基本的な実現可能な解決策を開始します。
- 最初の基本的な実現可能なソリューションを取得する方法
- 最適な解決策かどうかを確認する方法
- さらに、基本的な実現可能なソリューションへの基本的な実行可能解から変換する方法
最初の基本的な実現可能なソリューション
大\（M \）方法：変数人工増加（Z = \ sum_ {I \ = 1} ^ {N}、C_ {I} X_ {I} -M X_ {N + 1} - \ cdots-MのX_ { } M + N- \） 、取る（\ \ boldsymbol {X} _ {N + 1}、\ cdots、\ boldsymbol {X} _ {N + M} \） 初期集団に変数。
最適解条件を決定
\ [（\ boldsymbol {LP}）\の最大Z = \ sum_ {i = 1} ^ {N}、C_ {I} \ boldsymbol {X} _ {I} \クワッド\テキスト{ST} \左\ {\始まります{アレイ} {C} {A_ {11} X_ {1} + A_ {12} X_ {2} + \ cdots + A_ {1、N} X_ {N} = B_ {1}} \\ {A_ {21} X_ {1} + A_ {22} X_ {2} + \ cdots + A_ {2 N} X_ {N} = B_ {2}} \\ {\ cdots} \\ {A_ {M 1} X_ {1} + A_ {M 2} X_ {2} + \ cdots + A_ {MN} X_ {N} = B_ {M}} \\ {X_ {I} \ GEQ 0、I = 1,2、\ cdots、N} \端右\ {アレイ}。\]
そこを通って反復した後に設け
[\左\ \ {\開始 {アレイ} {1} {X_ {1} = B_ {1} ^ {\プライム} - \のsum_ {J = M + 1} ^ {n}はA_ { 1 J} ^ {\プライム} X_ {J}} \\ \ vdots \\ {X_ {M} = B_ {M} ^ {\プライム} - \のsum_ {J = M + 1} ^ {n}はA_ { MJ} ^ {\プライム} X_
{J}} \端{アレイ}右\。（1）\] れる（X_1、...、x_m \ \ ） 可変基である\（1 + X_ {M}、 ...、x_nに関する\）以外の基本的な変数。
目的関数に代入
\ [Z = \ sum_ {I = 1} ^ {M} C_ {I} B_ {I} ^ {\プライム} + \ sum_ {J = M + 1} ^ {N} \左（C_ {J} - \ sum_ {I
= 1} ^ {M} C_ {I} A_ {IJ} ^ {\プライム} \右）X_ {J} \] オーダー\（Z_0 = \ sum_ {I = 1} ^ {M} C_ {I} B_ {I} ^ {\プライム} \）、\ （\ sigma_j = C_ {J} - \ sum_ {I = 1} ^ {M} C_ {I} A_ {のIJ} ^ { \プライム} \） 、次いで
\ [Z = Z_ {0}
+ \ sum_ {J = M + 1} ^ {N} \ sigma_ {J} X_ {J} \] と呼ばれる\（\ sigma_jの\）テスト機能のために。
- もし\（X ^ * =（B_1 ^ *、...、b_m ^ *、0、...、0）^ T \） のグループに対応する\（Bの\）基本的な実行可能解のを、および任意用\（M + N-LE 1ルJ \ \ \）がある（LE sigma_j 0 \ \ \）\、次に\（X ^ * \）最適解です。
- もし\（X ^ * =（B_1 ^ *、...、b_m ^ *、0、...、0）^ T \） のグループに対応する\（Bの\）基本的な実行可能解のを、および任意用\（第m + 1 \ルJ \ルN- \）がある（\ \ sigma_j \ル0 \） 、およびそこに\（\ sigma_ {M + K} = 0（K \ GE 0）\）、線形プログラミング質問最適解は無限にあります。
タブロー
前節、線形計画問題に応じて\（（LP）\） 、のように書き換え
\ [（LP）\クワッド\の最大クワッドZ = Z_ {0} + \ sum_ {i = mの+ 1} ^ {N} \ \ sigma_ {I} X_ {I} \]
\ [\テキスト{ST} \左\ {\開始{整列} X_ {1} + A_ {1、M + 1} X_ {M + 1} + \ cdots + A_ {1、N} X_ {N}＆= B_ {1} \\ X_ {2} + A_ {2、M + 1} X_ {M + 1} + \ cdots + A_ {2 N} X_ {N} =＆B_ {2} \\ X_ {M} + A_ {M、M + 1} X_ {M + 1} + \ cdots + A_ {MN} X_ {N} =＆B_ {M} \\ X_ {I} \ GEQ 0、I = 1,2、\ cdots、N \端{整列}右\。\]
単体表
| \（X_ 1 \） | \（X_2 \） | \（X_ M \） | \（X_ {M + 1} \） | \（x_nに関するの\） | \（のb \） | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | \（\ cdots \） | 0 | \（A_ {1、M + 1} \） | $ \ cdots $ | \(a_{1n}\) | \（B_1 \） |
| 0 | 1 | \（\ cdots \） | 0 | \（A_ {2、M + 1} \） | \（\ cdots \） | \（A_ {2N} \） | \（B_2 \） |
| $ \ $ vdots | \（\ vdots \） | \（\ vdots \） | \（\ vdots \） | \（\ vdots \） | $ \ $ vdots | ||
| 0 | 0 | \（\ cdots \） | 1 | \（A_ {M、M + 1} \） | \（\ cdots \） | \（A_ {MN} \） | \（b_m \） |
| 0 | 0 | $ \ cdots $ | 0 | \（\ sigma_ {M + 1} \） | $ \ cdots $ | \（\ Sigma_n \） | \（ - Z_0 \） |
- サブ行列、それが変数グループに対応するように、ベースマトリックスを含むこと変数であります
- 試験群の可変数が0であった前記行のテスト番号と呼ばれる最後の行
- 変数の現在の値に対応するグループの最後の要素
- \（M + 1 \）番目、\（N + 1 \）列要素（ - Z_0 \）\、逆の数は、基本的な実現可能な解に対応する目的関数の現在の値を表します
ラジカルの変換
変数グループに：あなたは、最大の選択することができます\（\ sigma_jの\）変数のグループに変数に対応します
基本変数から：グループ変数う\（X_Kの\）を、式（1）により算出される
\ [\ boldsymbol {\シータ} \分= \左\ {\ FRAC {\ boldsymbol {B} _ {I} ^ {\ プライム}} {\ boldsymbol {A = \ FRAC {\：boldsymbol \ \ boldsymbol {A} _ {IK} ^ {\プライム}> {0} \右\} |} _ {IK} ^ {\プライム}} boldsymbol {B} _ {1} ^ {\プライム}} {\ boldsymbol {A} _ {LK} ^ {\プライム}} \]
\（X = Yの\）は命題を表し\（X \）をに等しくなるように定義されている（Y \）\
（1）、留意すべきで算出される結合（\ \ A_ {LK}）マイナス記号の前に
\（{X_ {M} = B_ {M} ^ {\プライム} - \のsum_ {J = M + 1} ^ {n}はA_ {MJ} ^ {\プライム} X_ {J}} \）
選択し\（X_L \）がグループからの変数です。
簡単な方法のアルゴリズムステップ
最初の基本的な実現可能な解決策、初期シンプレックスタブローの設立を決定
場合は、試験番号を参照して\（\ sigma_j \ル0（ J = M + 1、...、N）\） 現在の基本的な実現可能な解決策は、アルゴリズムは終了する最適解です。それ以外の場合は、（3）にアクセスしてください
存在した場合（> 0 \ \ sigma_k）\それが変数に対応するように\（X_Kの\）は、係数列ベクトルである\（LE0の\としてPJC \） 、無制限の線形計画問題、アルゴリズムは終了します。それ以外の場合は、（4）にアクセスしてください
セット\（\最大\左（\ sigma_ {J}> 0 \右）= \ {K} sigma_ \）を選択、\（X_Kは\）可変基です。計算
\ [\ boldsymbol {\シータ} = \ \分左\ {\ FRAC {\ boldsymbol {B} _ {I}} {\ boldsymbol {A} _ {IK}} | \ boldsymbol {A} _ {IK} > \ boldsymbol {0}右\
\}：= \ FRAC {\ boldsymbol {B} _ {1} {\ boldsymbol {A} _ {LK}} \] を選択し\（X_L \）は、グループから変数です。（5）ターンで\（A_ {LK} \）回転要素をベース。すなわち、ライン変換の使用、最初の\（K \）番目の列ベクトルをする変換係数\を（A_ {LK} = 1 \） 他の要素が列に0です。